Олимпиада в 6 классе

Школьная олимпиада

6 класс

1. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставит нуль. (2 балла)

2. Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка , длина которого 2/3 метра? (2 балла)

3. Двое играют в такую игру. Из кучки, где лежит 2007 камешков, каждый по очереди забирает один или два камешка. Проигрывает тот, кто вынужден забрать последний камешек. Кто из игроков выиграет при правильной игре - первый или второй? Описать выигрышную стратегию. (3 балла)

4. Количество цифр, потребовавшихся для нумерации всех страниц энциклопедического словаря, не превосходит 2000 (первая страница имеет номер 1). Если бы в словаре было на одну страницу больше, то это количество превысило бы 2000. Сколько страниц в словаре? (5 баллов)

5. Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединен ровно с пятнадцатью? (7 баллов)

Ответы:

1. 45.

2. Если от шнурка отрезать четвертую часть, то останется как раз 50 см. Действительно, 2/2 -(2/3∙1/4)=1/2 метра.

3. Если в кучке 2 камушка, то первый выигрывает, взяв 1 камушек.

Если в кучке 3 камушка, то первый выигрывает взяв 2 камушка.

Если в кучке 4 камушка, то первый всегда проиграет.

Затем ситуация повторяется. Если в кучке 5 камушков, то первый выигрывает, взяв 1 камушек.

Если в кучке 6 камушков, то первый выигрывает, взяв 2 камушка.

Если в кучке 7 камушков, то первый всегда проиграет и т.д.

При делении 2007 на 3 в остатке будет 0, значит первый выиграет, взяв 2 камушка.

4. 702 страницы.

5. Нет, нельзя. если каждый из 77 телефонов соединен ровно с 15-ю, то "концов" проводов будет 77∙15. Это нечетное число, но число "концов" должно быть четным, поскольку каждый провод имеет два конца.