Олимпиадные задания по алгебре для 7 класса

7 класс

7.1. Вырежьте из клетчатого квадрата 55 одну нецентральную клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на 6 равных клетчатых фигурок, не являющихся прямоугольниками. Приведите пример такого разрезания.

7.2. Можно ли в равенстве 0,**0,**0,**0,**= 2 заменить звездочки различными цифрами от 1 до 9 так, чтобы получилось верное равенство?

7.3. В классе 26 школьников. Для школьной игры первому ученику дали 2 фишки. Второму – на 3 фишки больше. А каждому следующему давали либо на 3 фишки больше, либо на 3 меньше, чем предыдущему. Затем ученики как-то разбились на три команды. Могло ли оказаться, что суммарное число фишек в каждой команде оказалось одинаковым?

7.4. Турнир лучников проводился по следующим правилам. С каждого участника собрали одинаковый взнос. Организаторы турнира забрали 1/3 от всех поступивших денег, а оставшиеся деньги пошли в призовой фонд турнира. Робин Гуд, победивший в турнире, получил больше каждого из остальных участников – 1/6 от призового фонда, однако оказался в убытке. Какое количество лучников могло участвовать в турнире? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.

7.5. В ящике лежат шары трех цветов: красного, синего и зеленого, причем шаров каждого цвета хотя бы по 2. Известно, что среди любых 10 шаров найдется красный шар, а среди любых 20 шаров – синий. Какое наибольшее количество шаров могло лежать в ящике?

Ответы 7 класс

7.1. Один из возможных примеров показан на рис. 2. Рис. 2

7.2. Ответ. Можно. Например, 0,130,240,650,98 = 2 .

7.3. Ответ. Не могло. Предположим противное. Тогда суммарное количество фишек у школьников равнялось бы утроенному количеству фишек у одной команды, то есть делилось бы на 3. Но это количество на 3 не делится. Докажем это. Можно считать, что каждому школьнику сначала дали по 2 зеленые фишки, а потом некоторым из них добавляли красные фишки. Из условия следует, что количество красных фишек у каждого школьника делится на 3. А это значит, что суммарное количество красных фишек также делится на 3. Если бы общее количество фишек делилось на 3, то и количество зеленых фишек также делилось бы на 3, но оно равно 226 = 52 . Замечание. Фактически мы показали, что у каждого школьника количество фишек имеет остаток 2 при делении на 3. Тогда суммарное количество фишек будет иметь остаток 1 при делении на 3.

7.4. Ответ. 7 или 8 лучников. 52 Призовой фонд составляет 3 2 от всех поступивших денег. Поэтому победитель турнира получил 9 1 = 3 2 6 1  от поступивших денег. Значит, если число участников не больше восьми, то взнос превышает награду за первое место, а иначе – не превышает. Итак, количество участников не больше восьми. Так как победитель получил 6 1 от призового фонда, то остальные участники разделили 6 5 фонда. При том победитель получил больше каждого из остальных. Поэтому каждый из оставшихся получил меньше 6 1 фонда, а значит, остальных больше, чем = 5 6 1 : 6 5 человек. Таким образом, в турнире могли участвовать 7 или 8 человек. Обе этих ситуации возможны. Для этого, например, не выигравшие участники могли поровну разделить остающиеся 6 5 призового фонда (получив по 6 1  или по 6 1  призового фонда).

7.5. Ответ. 26 шаров. Заметим, что суммарное количество синих и зеленых шаров не больше 9 – в противном случае нашлись бы 10 шаров, среди которых нет красного. Аналогично, суммарное количество красных и зеленых шаров не больше 19. Так как по условию есть хотя бы 2 зеленых шара, а суммарное количество синих и зеленых шаров не больше 9, то синих шаров не больше 7. Теперь из того, что синих шаров не больше 7, а красных и зеленых шаров не больше 19, следует, что суммарное количество шаров не превосходит 7 19 = 26. Если же в коробке 2 зеленых, 7 синих и 17 красных шаров, то условие задачи выполняется. 8