Олимпиадные задания по математике 5 - 7 классы для школьного этапа

Олимпиадные задания

по математике для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников в 2017 - 2018 уч. году.

( 5-7 кл)

1. класс

1.  Замените знаки * цифрами:

1. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

2. Сумма всех чисел, изображенных на циферблате часов, равна 78. Раздели циферблат двумя прямыми линиями на три части так, чтобы сумма чисел в каждой части была одинаковой.

3. На одной чаше весов лежат шесть одинаковых пачек чая и гиря массой 50г., а на другой – одна пачка чая и две гири массой 100 и 200 г. Весы находятся в равновесии. Определите, сколько граммов весит одна пачка чая?

4. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на 3.

1. класс

1. Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

2. Какие цифры скрываются за буквами:

1. На некотором острове каждый житель либо всегда лжет, либо всегда говорит правду. Трое островитян А, Б, В сказали следующее:

А: «Б – лжец»;

Б: «ровно один из А и В лжец»;

В: «у меня есть крокодил».

Есть ли у В крокодил?

1. Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной получилась половина от общего количества пирожков; пирожков с черникой – на 14 меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше, чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла Надя?

2. Проведите 3 прямые так, чтобы тетрадный лист разделился на наибольшее число частей. Сколько получится частей? Проведите 4 прямые с тем же условием. Сколько теперь получилось частей?

1. класс

1. Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий:

100 = (77:7 – 7:7) · (77:7 – 7:7). Улучшите его результат: используя меньшее число семерок и получите число 100 (достаточно привести один пример).

1. Огород квадратной формы 5 м  5 м нужно разделить несколькими кусками ячеистой сетки на 5 равных по площади «клетчатых» участков. Это легко сделать, используя 20 м сетки, как показано на рисунке.

Хватит для этой цели 16 м сетки? Выполните рисунок.

1. В одной комнате сидят 9 человек, и их средний возраст – 25 лет. В другой комнате сидят 11 человек, и их средний возраст – 45 лет. Каков средний возраст всех 20 человек? (ответ обосновать).

2. Сколько прямоугольных пластин 20х45 см можно вырезать из фанерного листа 120х240 см? (ответ обосновать).

3. Дедушка решил подарить внукам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, яблока, апельсина, шоколадки и книги. На те же деньги он мог купить одни конфеты и их оказалось бы 224, яблоки– их было бы 112, апельсины – 56, шоколадки – 32, а книг – 16. Сколько внуков у дедушки?

Общие положения о проверке работ

Приведённые ниже решения задач не являются единственно возможными. Участники, вероятно, найдут и другие верные решения. При проверке и оценке решения учитывается только его верность и полнота. Приведённые ниже критерии по проверке задач также носят рекомендательный характер и могут быть уточнены и дополнены школьным жюри олимпиады в соответствии с особенностями решений школьников данной школы. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных участником.

Основные принципы оценивания задач :

7баллов - Полное верное решение.

6-7баллов Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение

5-6баллов Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

4балла Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

2-3балла Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1балл Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0баллов Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0 баллов Решение отсутствует.

Олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении. Баллы не выставляются «за старание участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи. Победителем в параллели считается участник, набравший наибольший суммарный балл и решивший не менее половины задач (не менее трех задач). Победителей в параллели может быть несколько. Призерами рекомендуется считать участников, решивших не менее половины задач, но набравших меньше баллов, чем победитель. Если ни один участник в данной параллели не решил более двух задач, жюри может принять решение считать призерами участников, решивших две задачи, однако победителей в этом случае не будет.

5 класс

№1 Замените знаки * цифрами:

№2

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

Решение.

Кошка = 6 мышек;  жучка = 5 кошек = 30 мышек;  внучка = 4 жучки = 120 мышек; бабка = 3 внучки = 360 мышек; дедка = 2 бабки = 720 мышек. Все вместе дедка+бабка+внучка+жучка+кошка+мышка= 720+360+120+30+6+1=1237 мышек.

№3

Сумма всех чисел, изображенных на циферблате часов, равна 78. Раздели циферблат двумя прямыми линиями на три части так, чтобы сумма чисел в каждой части была одинаковой.

Решение задачи:

№4

На одной чаше весов лежат шесть одинаковых пачек чая и гиря массой 50г., а на другой – одна пачка чая и две гири массой 100 и 200 г. Весы находятся в равновесии. Определите, сколько граммов весит одна пачка чая?

Решение:

1. 6 пач.+50 г.=1 пач. +100 г.+200 г.

2 )6 пач.+50 г.=1 пач. +300 г.

3) 6 пач.=1 пач. +250 г.

4) 5 пач.=250 г.

5) 1 пач.=250:5=50 (г.)

Ответ: 50 (г.)

№5

В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на 3.

Решение.

5 лет - возраст ребёнка детского сада. Самый младший ребёнок - девочка в возрасте 5 лет.

Зная, что Аня старше Бори, получаем, что Ане либо 13, либо 15 лет.

Так как сумма лет Ани и Веры делится на 3, то получаем три случая:

1. Ане 15 лет, Вере 5 лет. 15+5=20, не делится на 3.

2. Ане 15 лет, Вере 8 лет. 15+8=23, не делится на 3.

3. Ане 13 лет, Вере 5 лет. 13+5=18, делится на 3.

Значит, Боре-8 лет, Гале-15 лет.

Ответ: Вере-5 лет, Боре-8 лет, Ане-13 лет, Гале-15 лет.

6 класс

1. Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

Решение. Разница между черепахами всегда 300-15=285 лет. Одна будет вдвое старше другой, когда второй будет столько лет, какова разница, т.е. 285. А 285 лет второй черепахе исполнится через 285-15=270 лет.

1. Какие цифры скрываются за буквами:

Ответ: 3125 : 25 = 125.

1. На некотором острове каждый житель либо всегда лжет, либо всегда говорит правду. Трое островитян А, Б, В сказали следующее:

А: «Б – лжец»;

Б: «ровно один из А и В лжец»;

В: «у меня есть крокодил».

Есть ли у В крокодил?

Решение: Первый способ. 1) Пусть А говорит правду. Тогда Б – лжец.

Тогда А и В оба лжецы или оба «правдивцы», но т.к. А –

«правдивец», то и В «правдивец», т.е. крокодил у него есть.

2) Пусть А – лжец. Тогда Б – «правдивец». Тогда ровно один из А

и В лжец, но т.к. А лжец, то В – «правдивец». Т.е. крокодил у него есть.

Таким образом, в обоих случаях получаем, что у В есть крокодил.

Второй способ. 1) Пусть Б «правдивец». Тогда ровно один из А и В лжец, но т.к. А говорит, что Б лжец, то А – лжец = В «правдивец» = крокодил у него есть.

2) Пусть Б лжец. Тогда оба А и В «правдивцы», или оба лжецы. Но А говорит, что Б лжец, т.е. говорят правду = они оба (А и В) «правдивцы», т.е. у В есть крокодил.

Ответ. Да, есть.

1. Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной получилась половина от общего количества пирожков; пирожков с черникой – на 14 меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше, чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла Надя?

Решение.

Так как пирожков с малиной половина от общего количества, то пирожков с черникой и клубникой вместе столько же, сколько пирожков с малиной . При этом, пирожков с черникой на 14 меньше, чем пирожков с малиной, следовательно, эти 14 пирожков – с клубникой. Тогда пирожков с малиной и черникой: 14·2 = 28, значит, всего испечено 28 +14 = 42 пирожка. Таким образом, пирожков с малиной 42 : 2 = 21, с черникой – 7, а с клубникой – 14.

Ответ : 21 пирожок с малиной, 7 пирожков с черникой и 14 пирожков с клубникой.

1. Проведите 3 прямые так, чтобы тетрадный лист разделился на наибольшее число частей. Сколько получится частей? Проведите 4 прямые с тем же условием. Сколько теперь получилось частей?

1. класс

1. Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий:

100 = (77:7 – 7:7) · (77:7 – 7:7). Улучшите его результат: используя меньшее число семерок и получите число 100 (достаточно привести один пример).

Решение: 100 = (7 ·7 + 7 : 7)·(7:7+7:7), 100 = 777:7 – 77:7 могут быть и другие варианты

1. Огород квадратной формы 5 м  5 м нужно разделить несколькими кусками ячеистой сетки на 5 равных по площади «клетчатых» участков. Это легко сделать, используя 20 м сетки, как показано на рисунке.

Хватит для этой цели 16 м сетки? Выполните рисунок.

Решение: Ответ: хватит.

Одно из возможных решений показано на рисунке.

1. В одной комнате сидят 9 человек, и их средний возраст – 25 лет. В другой комнате сидят 11 человек, и их средний возраст – 45 лет. Каков средний возраст всех 20 человек? (ответ обосновать).

Решение: 1) 25·9 = 225(л) – общий возраст 9 человек

2) 45·11 = 495(л) – общий возраст 11человек

3) 225 + 495 = 720(л) – общий возраст 20 человек

4) 720 : 20 = 36(л) средний возраст 20 человек

Ответ: 36 лет. могут быть и другие варианты решения

1. Сколько прямоугольных пластин 20х45 см можно вырезать из фанерного листа 120х240 см? (ответ обосновать).

Решение: 1) 120·240 = 28800(см²) – площадь фанерного листа

2) 20·45 = 900(см²) – площадь пластины

3) 28800:900 = 32

Ответ: 32 пластины

1. Дедушка решил подарить внукам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, яблока, апельсина, шоколадки и книги. На те же деньги он мог купить одни конфеты и их оказалось бы 224, яблоки– их было бы 112, апельсины – 56, шоколадки – 32, а книг – 16. Сколько внуков у дедушки?

Ответ: 8 внуков.

Решение. Замечаем, что яблоко «стоит» 2 конфеты, апельсин – 4 конфеты, шоколадка – 7 конфет, книга – 14 конфет. Значит, «цена» подарка равна 1+2+4+7+14=28 (конфет). Следовательно, внуков у дедушки 224:28=8.