Олимпиадные задания по математике для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников в 2015 - 2016 уч. году. ( 6 класс)

Олимпиадные задания

по математике для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников в 2015 - 2016 уч. году.

( 6 класс)

Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий:

100 = (33 : 3 — 3 : 3) ·  (33 : 3 — 3 : 3)Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100.

Задача №2

На плоскости расположены четыре фигуры: два треугольника и две прямые. Они могут пересекаться и не пересекаться. Найди наибольшее возможное количество точек пересечения между собой всех этих четырёх фигур.

Задача №3

Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

(Напишите решение задачи, а не только ответ).

Задача №4

Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре).

Задание№5

Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза?

Общие положения о проверке работ

Приведённые ниже решения задач не являются единственно возможными. Участники, вероятно, найдут и другие верные решения. При проверке и оценке решения учитывается только его верность и полнота. Приведённые ниже критерии по проверке задач также носят рекомендательный характер и могут быть уточнены и дополнены школьным жюри олимпиады в соответствии с особенностями решений школьников данной школы. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных участником.

Основные принципы оценивания задач :

7баллов - Полное верное решение.

6-7баллов Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение

5-6баллов Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

4балла Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

2-3балла Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1балл Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0баллов Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0 баллов Решение отсутствует.

Олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении. Баллы не выставляются «за старание участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи. Победителем в параллели считается участник, набравший наибольший суммарный балл и решивший не менее половины задач (не менее трех задач). Победителей в параллели может быть несколько. Призерами рекомендуется считать участников, решивших не менее половины задач, но набравших меньше баллов, чем победитель. Если ни один участник в данной параллели не решил более двух задач, жюри может принять решение считать призерами участников, решивших две задачи, однако победителей в этом случае не будет.

Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий:

100 = (33 : 3 — 3 : 3) ·  (33 : 3 — 3 : 3)Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100.

Один из вариантов, не самый короткий, предусматривает использование 8 троек:

(33 — 3) : 3 · (33 — 3) : 3 = 100

Аналогично: (333 — 33) : 3 = 100.

Задача №2

На плоскости расположены четыре фигуры: два треугольника и две прямые. Они могут пересекаться и не пересекаться. Найди наибольшее возможное количество точек пересечения между собой всех этих четырёх фигур.

Решение:

Задача №3

Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

(Напишите решение задачи, а не только ответ).

Решение задачи:

Рассмотрим отрезок пути, на котором Маша делает 3 шага, а Яша – 5 шагов. Вместе они делают на таком отрезке 8 шагов. Значит, они прошли 400 : 8 = 50 таких отрезков. И Маша сделала 50 ·  3 = 150 шагов.

Теперь рассмотрим другой отрезок – на котором уже папа делает 3 шага, а Маша – 5 шагов. Таких отрезков было 150 : 5 = 30. Отсюда легко вычислить, сколько шагов сделал папа: 30 ·  3 = 90 шагов.

Ответ: папа сделал 90 шагов

Задача №4

Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре).

Решение:

Запишем последовательность действий в таблицу, указывая в первом столбце действие, а во втором и третьем – результат, т.е. сколько воды остается в каждом ведре после действия.

В результате в большом ведре останется ровно 8 литров.

Задание№5

Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза?

Решение.

Пусть сыну сейчас xлет, отцу - 4x лет, тогда x+4x=50 . Сыну сейчас 10 лет, а через y лет будет 10+y лет, а отцу 40+y лет 3(10+y) = 40+y; y=5

Ответ: через 5 лет