Олимпиадные задания по математике для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников в 2015 - 2016 уч. году. ( 8 класс)

Олимпиадные задания

по математике для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников в 2015 - 2016 уч. году.

( 8 класс)

8 класс

Задача №1 Известно, что a*b=1. Найдите значение выражения

Задача №2 За круглым столом собрались рыцари и лжецы, всего 13 человек. (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Сидящие за столом знают, кто есть кто). На вопрос вновь пришедшего "Рыцарь или лжец сидит справа от тебя?", 12 человек ответили: "лжец". Что ответил 13-й человек?

Задача №3. В классе учатся менее 50 школьников. За контрольную работу учеников получили пятерки, четверки, - тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительными?

Задача№4. Дан равносторонний ΔАВС. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D, а на продолжении стороны АВ за точку В, отмечена точка М, так что CD=BM. Докажите, что АD=DM.

Задача №5. Арбуз весил 12 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?

Общие положения о проверке работ

Приведённые ниже решения задач не являются единственно возможными. Участники, вероятно, найдут и другие верные решения. При проверке и оценке решения учитывается только его верность и полнота. Приведённые ниже критерии по проверке задач также носят рекомендательный характер и могут быть уточнены и дополнены школьным жюри олимпиады в соответствии с особенностями решений школьников данной школы. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных участником.

Основные принципы оценивания задач :

7баллов - Полное верное решение.

6-7баллов Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение

5-6баллов Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

4балла Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

2-3балла Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1балл Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0баллов Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0 баллов Решение отсутствует.

Олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении. Баллы не выставляются «за старание участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи. Победителем в параллели считается участник, набравший наибольший суммарный балл и решивший не менее половины задач (не менее трех задач). Победителей в параллели может быть несколько. Призерами рекомендуется считать участников, решивших не менее половины задач, но набравших меньше баллов, чем победитель. Если ни один участник в данной параллели не решил более двух задач, жюри может принять решение считать призерами участников, решивших две задачи, однако победителей в этом случае не будет.

Задача №1 Известно, что a*b=1. Найдите значение выражения

Решение: Выразив из a*b=1 переменную b и подставив в первое слагаемое , получим:

Ответ:1.

Задача №2 За круглым столом собрались рыцари и лжецы, всего 13 человек. (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Сидящие за столом знают, кто есть кто). На вопрос вновь пришедшего "Рыцарь или лжец сидит справа от тебя?", 12 человек ответили: "лжец". Что ответил 13-й человек?

Решение: Пусть А- тот 13 - й человек, ответом которого мы интересуемся. Пронумеруем сидящих за столом подряд против часовой стрелки, начиная с соседа справа от А. Могут быть два случая: либо первый человек рыцарь, либо лжец. В первом случае второй человек - лжец, и тогда третий человек - рыцарь, и т.д. до 12 - го человека рыцари и лжецы чередуются. Поскольку 12 - й человек лжец, то 13 - й - рыцарь, и, значит, про первого он скажет "рыцарь". Аналогично, во втором случае получаем чередующуюся последовательность лжецов и рыцарей, т.е., 12 -й человек - рыцарь, а 13 - й - лжец. Значит, про первого (лжеца) он скажет "рыцарь".

Ответ: "Рыцарь"

Задача №3. В классе учатся менее 50 школьников. За контрольную работу учеников получили пятерки, четверки, - тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительными?

Решение: По условию задачи число учеников должно быть кратно 7,3,2 одновременно, а такому условию удовлетворяет число 42, тогда получается, что число неудовлетворительных работ было 42-6-14-21=1(необходимо дроби привести к общему знаменателю и рассмотреть их числители).

Ответ:1

Задача№4. Дан равносторонний ΔАВС. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D, а на продолжении стороны АВ за точку В, отмечена точка М, так что CD=BM. Докажите, что АD=DM.

Доказательство:

На отрезке BM отметим точку N так, что ˂BDN=60⁰. Тогда в треугольнике BDN: ˂B=60⁰, как угол, вертикальный углу равностороннего треугольника. ˂D=60⁰ по построению. Следовательно по теореме о сумме углов треугольника ˂BDN=60⁰. Значит треугольник BDN - равносторонний. Поэтому BD=BN=DN.

Получаем: MN=BM-BN=CD-BD=CB=AB.

Рассмотрим треугольники ADB и MDN:

AB=NM, BD=DN, ˂ABD=˂MND как внешние углы равносторонних треугольников. Значит, треугольники ADB и MDN равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому АD=DM.

Задача №5. Арбуз весил 12 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?

Решение: масса "сухого вещества" в арбузе составляет 1% первоначальной массы, или 12×0,01=0,12кг. После того, как арбуз усох, масса 2 - го сухого вещества составила 2% от новой массы арбуза. Новая масса арбуза равна 0,12 :0,02= 6кг.

После того, как арбуз усох, его масса уменьшалась вдвое.

Ответ: 6кг