Определение арифметической прогрессии

Выполнил учитель математики:

Волкова Елена Вадимовна

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Универсальные учебные действия

1. Приветствие. Проверка присутствия и готовности учащихся к уроку.

Приветствие.

Настраиваются на рабочий лад.

Коммуникативные

2. Последовательность ( ) задана формулой:  = . Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?

О последовательности ( ) известно, что  ,  . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности.

12, 25, 10

Нет, 49(да, 7), нет

Рекуррентный

2, 7, 22, 67

Регулятивные

(целеполагания)

Коммуникативные

3. Определение арифметической прогрессии: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:

(  - арифметическая прогрессия, если  , где  некоторое число.

Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии:  .

Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?

Если в арифметической прогрессии разность положительна  , то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (  , то прогрессия является убывающей: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

В случае, если разность равна нулю ( ) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной: 5, 5, 5, 5, :.

Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу.

Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+3 29=137 тонн угля.

Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?

Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности:

:::::::::::::

Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Пример 1. Последовательность ( )-арифметическая прогрессия. Найдите  , если   и  .

Рассмотрим следующую задачу:

В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, :, 7, :, 13: Можно ли восстановить утраченные числа? Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть  - искомый член последовательности. Тогда 

.

Замечание. Данное свойство арифметической прогрессии является ее характеристическим свойством. Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (  . И, наоборот, любая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего, является арифметической прогрессией.

Конспектируют основные моменты

Воспользуемся формулой n-ого члена    , 

Ответ: 260.

5, 10

Коммуникативные
Регулятивные

4. Задача. Числовая последовательность задана формулой 

Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?

Решение.

Поскольку  , при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы   разность этой прогрессии равна 5.

Ответ: является.

Задача. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

Решение. По условию  ,  . Заметим, что  , откуда  .

По формуле n-ого члена  , откуда 

Ответ: -2.

• № 575 аб(устно)

• № 576 авд

• № 577б - самостоятельно с проверкой

• №580 а

Решение задач

№575

10 14 18 22 26

30 20 10 0 -10

№576

B1+6d;

B1+230d

B1+(k+4)d

№577

-24,2.

№580

25

Регулятивные

Коммуникативные

5. Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок узнать что-то новое, сделать какие-то открытия? А какие цели урока мы ставили перед собой? Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

Звучат ответы учеников

Коммуникативные

Регулятивные

6. Пункт 25, № 578а, № 580б,№601а.

Записывают домашнее задание

Регулятивные