Определители. Свойства определителей

Определителем квадратной матрицы или просто определителем (детерминант) называется число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по её элементам.

• Квадратная матрица первого порядка состоит из одного элемента поэтому её определитель равен самому элементу 
• Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

• Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника:

Определение минора

Дополнительным минором  к элементу  квадратной матрицы  называется определитель -го порядка полученный из исходного вычеркиванием -ой строки и -ого столбца на пересечении которых данный элемент находится.

Алгебраическое дополнение (адъюнкт)

Вычисление определителей

Теорема (без доказательств) о разложении определителя по элементам строки (столбца). Для каждой квадратной матрицы  порядка  имеет место формула

Пример:

Свойства определителей

При транспонировании величина определителя не меняется.

Строки и столбцы определителя эквиваленты.

Если в определители поменять местами какие-либо две строки (столбца) местами, то определитель меняет знак.

Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен 0.

При умножении элементов какого-либо столбца (строки) на число a, определитель умножается на это число.

Если все элементы какого-либо столбца (строки) равны 0 , то определитель равен 0.

Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен 0.

Пусть каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя равен сумме двух слагаемых, тогда этот определитель равен сумме двух определителей, причём в первом их них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а во втором - из вторых слагаемых.

Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца умноженного на одно и тоже число.

Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраического дополнения к элементам другого столбца равна 0.