Основные определения и теоремы

Основные определения и теоремы по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E.  xE u: ║x-u║

Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LE, (0,1) zE\L ║z║=1 (z,L)1-

Определение: Полное нормированное пространство - любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если xE uL: ║x-u║

Теорема: Чтобы L было плотно в H  ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор – AxAx0 при x x0

Определение: (X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор - ║x║≤1 с: ║Ax║≤c

Теорема: A – ограниченный  xX ║Ax║≤c║x║

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен  чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена  {An}- ограничена.

Теорема: {Anx} – ограниченно  {║An║}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║0, n, обозначают AnA

Определение: Слабая сходимость - xX ║(An-A)x║Y0, n

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость  {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза AnA n слабо  1) {║An║}- ограничена 2) AnA, x’X, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)Y, D(A)X   A’:XY 1) A’x=Ax, xD(A) 2) ║A’║=║A║

Определение: Равномерная ограниченность - a x: ║x(t)║≤a

Определение: Равностепенная непрерывность t1,t2 : ║x(t1)-x(t2)║

Теорема: (X,Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – {xX | Ax=0}

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=(X,E)

Определение: Сопряженный оператор A*: Y*X*

Теорема: Банаха A:XY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда  A-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.

Теорема: A-1  и ограничен  m0 xX ║Ax║≥m║x║

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XY – линейный ограниченный функционал  ! yH xH f(x)=(x,y)

Определение: MX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. MX компактно  0  конечная -сеть

Теорема: Арцела. MC[a,b] компактно  все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение: (X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. A(X,Y)  A*(X*,Y*)

Линейные нормированные пространства

1. Пространства векторов

сферическая норма

кубическая норма

ромбическая норма

p1

1. Пространства последовательностей

p1

или пространство ограниченных последовательностей

пространство последовательностей, сходящихся к нулю

пространство сходящихся последовательностей

1. Пространства функций

пространство непрерывных на функций

пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

Јp[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

- пополнение Јp[a,b] (Гильбертово)

Неравенство Гёльдера p,q0

Неравенство Минковского