Основные понятия дискретной математики. Множества

Пустым будет множество действительных решений уравнений х² + 25 = 0 и 5^2x-3 =-1.

Множество, не являющееся пустым, называется непустым.

? Всегда ли удается, соблюдая все правила, задать множество

? Например, как задать множество всех множеств

? Будет ли такое множество содержать себя как отдельный элемент (по указанному характеристическому свойству оно должно содержать все возможные множества, а значит, и себя?)

Слайд 5

Изображение множеств

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна). Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству (а  М), и точками вне круга, если они множеству не принадлежат (b  М). Будем также использовать символы х вместо слов «для любых х», «каждый элемент х» и  х вместо слов «существует х».

Из множества М можно выделить его часть (также выделением нового характеристического свойства или перечислением элементов) – множество К, все элементы которого обладают таким же признаком, как и элементы множества М. Множество К называют подмножеством множества М и обозначают К  М.

Более строго: множество К называется подмножеством множества М (К М), если для любого х  М выполняется х  М (т.е. x  К влечет х  М.

Например, добавляя к множеству однозначных целых чисел А = {0, 1,… 9} признак «число делится на 3», получаем множество В = {0, 3, 6, 9}  А.

Так, множество целых чисел Z является подмножеством множества рациональных чисел Q. Для числовых множеств справедливо соотношение: N  Z  Q  R  C, где N – множество натуральных чисел, Q – рациональных, R – действительных, С – комплексных чисел. Для любого непустого множества М можно сразу указать два его подмножества независимо от состава и структуры М: это оно само и пустое. Очевидно, пустое множество содержится (является подмножеством) в любом множестве.

Также необходимо учитывать различие в употреблении знаков включения () и принадлежности () для множества множеств.

Например, М – множество всех отделений в нашем колледже, а К – отделение «Лечебное дело». Хотя К само является множеством (состоит из студентов и сотрудников – преподавателей, администрации и др.), верна запись К  М, так как отделение К является элементом всего множества М. Запись К  М неверна, так как множества К и М содержат разные элементы: К – людей, М – отделения. Однако, если рассмотрим множество О – совокупность людей со всех отделений (например, при всеобщем голосовании по насущному вопросу), то, безусловно, К  О.

Универсальным называют множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.

Например, множество планет Солнечной системы U = {Земля, Марс, Вене­ра, Юпитер, Сатурн, Уран, Плутон, Меркурий, Нептун). Заметим, что понятие универсального множества четко не определено, т.е. некорректно. U можно включить в другое множество W, и оно тоже будет универсальным.

Например, долго считалось, что множество действительных чисел R универсально (т.е. описывает всю математику), пока не открыли поле комплексных чисел С и надкомплексные числа и не поняли, что не существует универсального числового множества. Тем не менее, там, где область объектов не выходит за рамки некоего множества, иногда бывает удобно оперировать с этим термином. Ведь ржаное поле – вселенная для мыши.

Равными называют два множества А и В, состоящие из одинаковых элементов: А = В.

Например, равны множества решений уравнений 4х - 8 = 16, х/15 = 2/5 и
5^х–3 = 125, так как их решением является одно и то же число 6.

Равны множества букв, из которых составлены слова «навес» и «весна». Равны множества корней уравнения х² = 1 и множество М {(-1)^k / k=0, 1, 2, ...}. Поэтому задача «решить уравнение», знакомая с детства, в реальности означает «решить уравнение в каком-то множестве».

Так, уравнение х² + 1 = 0 не имеет действительных корней:

{х| x² + 1 = 0, х  R} = 0, но имеет два комплексных корня х = i, х= -i: {х| х² + 1 = 0, х С} = {i, -i}.

Равенство двух множеств А и В означает также, что А  В и В  А.

И наоборот, выполнение свойств А  В и В  А означает выполнение равенства А = В. Эти утверждения равносильны.

Число элементов множества А называется мощностью множества и обозначается |А| или п(А). Так, мощность пустого множества равна 0: п() = 0, а мощность множества планет Солнечной системы n(U) = 9 или |U| = 9.

Слайд 6

Основные операции над множествами

Из данных множеств А и В можно построить новые множества с помощью операций объединения, пересечения, вычитания и др..

Таблица 1

Основные операции над множествами

Например.

Пусть А = {а, b, с, g, е}, В = {а, с, e, f, r, т}, тогда АUВ = {а, b, c, g, e, f, r, m}, АUВ = {а, с, е), A∩B = {b, g}, В\А = = {f,r,m}, A Δ B = {b, g, f, r, т}.

Обратим внимание, что для разности двух множеств не выполняется переместительный закон: А\В  В\А. Это становится очевидным, если одно множество пустое (например, А), а другое – непустое.

Слайд 7

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают рядом свойств, похожих на свойства операций сложения и умножения чисел. Рассмотрим законы, справедливые для любых множеств А, В, С

1. AUB=BUA, A∩B= В∩А – переместительный закон (коммутативность) для операций объединения и пересечения. Посколь­ку это свойство справедливо для любого конечного числа множеств, то удобно использовать знаки U и ∩ для обозначения объединения и пересечения многих множеств.

Например, означает объединение п множеств вне зависимости от того, какое из них считать первым, вторым и т.д.

2. (AUB) U C= AU (BUC), (А∩В) ∩С = А∩ (В∩С) - сочета­тельный закон (ассоциативность) для операций объединения и пересечения.

3. (A U B) ∩ C = (A∩C) U (B∩ С) – распределительный закон (ди­стрибутивность) пересечения относительно объединения мно­жеств.

4. (A∩B) U С = (AU С) ∩(BU С) – распределительный закон объединения относительно пересечения множеств.

5. AUA = A, A∩A = А, А  (АUВ) – законы поглощения.

6. U=' и  = U', т.е. универсальное и пустое множества явля­ются дополнениями друг друга.

7. Если обозначить через А_i все подмножества А_1, А_2, А₃, А_n множества А, то будут справедливы равенства: A= и A\ = .

Операция дополнения обладает рядом характерных свойств.

8. Для любого множества X U справедливо X' = (X')' = X.

9. Для любых двух множеств X и Y справедливо: если X  U, Y  U, то (Х ∩ Y)' = Х' U Y' или (X U Y)' = Х' ∩ Y'.

10. Множество А можно разбить на классы непересекающихся подмножеств A_i если:

• объединение всех подмножеств совпадает с множеством А: A=

• пересечение любых двух различных подмножеств пусто, т.е. для любых i  j выполняется Ai∩ Aj= .

Рассмотрим примеры.

1. Произвольное множество А разбивается на два дополняющих друг друга подмножества А₁ и А₂ = A\A₁ , таких, что А₁ U А₂ = А и А₁ ∩ А₂ = .

2. Множество двузначных чисел U = {10, 11, 12, .... 98, 99} можно разбить на классы по признаку остатка от деления на 4: класс, порожденный остатком 0: А₀ = {12, 16, 20, .... 96}. Анало­гично А₁ = {13, 17, 20, ...,97}; А₂ = {10, 14, 18, ...,98}; А₃ = {11, 15, 19, 99}.

Разбиение на классы используется для классификации объектов. Так, множество квартир дома может быть разбито на подмножество квартир отдельных подъездов, а множество квартир каждого подъезда – на подмножество квартир одного этажа.

Слайд 8

Круги Эйлера. Задачи на пересечение или объединение множеств

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Рассмотрим несколько задач, решаемых с помощью теории множеств.

Задача 1. Пятьдесят лучших студентов колледжа наградили за успехи поездкой в Англию и Германию. Из них 5 не владели ни одним разговорным иностранным языком, 34 знали английский язык и 27 – немецкий. Сколько студентов владели двумя разговорными иностранными языками?

Решение. Введем обозначения множеств:

Е – множество студентов, не владеющих ни одним иностранным языком;

А – множество всех студентов, А= 50;

В – множество студентов, владеющих английским языком, В = 34;

С – множество студентов, владеющих немецким языком, С  = 27;

D – множество студентов, владеющих английским и немецким языками, D = х.

Представим множества графически с помощью кругов Эйлера.

Слайд 9

С пособ 1. Составим уравнение: 34 -x+27-x + x+5 = 50, откуда х= 16.

Способ 2. Найдем D из уравнения В+С– D = А – 5 или
34 + 27 – х = 50 - 5, отсюда х = 16.

Следовательно, 16 студентов свободно общались на двух иностранных языках.

Слайд 10

Задача 2. Каждый студент группы программистов занимается в свободное время либо в НСО, либо спортом.

С колько студентов в группе, если 23 увлекаются спортом, 12 занимаются в НСО, а 7 совмещают занятия в НСО и увлечение спортом?

Решение. Изобразим множества кругами Эйлера, обозначив множества «спортсменов» – А и «исследователей» – В.

Тогда n(А∩\В) = 7, n(А) = 23, n(В) = 12;

n(А U В) = n(А) + n(В) – n(А ∩ В) = 23 + 12 – 7 = 28.

Итак, в группе 28 студентов.

Слайд 11

Задача 3. Из 35 студентов, побывавших на каникулах в Москве, все, кроме двоих, делились впечатлениями. О посещении Большого театра с восторгом вспоминали 12 человек, Кремля – 14, а 16 – о концерте, по три студента запомнили посещение театра и Кремля, а также театра и концерта, а четверо – концерта и пребывания в Кремле. Сколько студентов сохранили воспоминания одновременно о театре, концерте и Кремле?

Решение.

Введем обозначения:

А – множество студентов, вспоминающих о театре, n(А) = 12;

В – о Кремле, n(В) = 14; С – о концерте, n(С) = 16;

D – множество всех студентов, побывавших в поездке.

Изобразим множества графически с помощью кругов Эйлера.

n(AUBUC) = n(А) + n(В) + n(С) - n(А∩В) – n(А∩С) – n(B∩C) + n(A∩B∩C).

Обозначим n(A∩B∩C) = х, тогда 35 – 2 = 12 + 14 + 16 – 3 – 3 – 4 + х, отсюда х = 3.

Всего 3 студента рассказывали о трех культурных мероприятиях поездки.

Приложение 2

Слайд 12-13

Примечание: примеры а, б, в – выполняются устно, г, д, е – письменно.

1. Укажите множество действительных чисел, соответствующее записи:

г)

б) д)

в) е)

Эталоны ответов

г)

б) д)

в) е)

Слайд 14

Задание выполняется устно

2. Дано множество .

1. Какие из элементов этого множества являются множествами?

2. Какие из следующих записей верны:

а) б) в)

г) д) е)

Эталоны ответов

1)

2) верны утверждения под буквами а, г, д

Слайд 15

Задание выполняется письменно

3. Дано множество М_i:

а) г)

б) д)

в) е)

1. Приведите по три примера элементов множества М_i.

2. Укажите, каким из множеств, принадлежат числа 3, 4, 5, 13, 25,

3. Запишите эти утверждения символически.

Эталоны ответов

1)

а) г)

б) д)

в) е)

2), 3)

3, 4, 13 , ;

5 ; 25 ; ;

; ;

Слайд 16

Задание выполняется устно

4. Приведите по три примера конечных и бесконечных множеств.

Задание выполняется письменно

5. Составьте 10 различных новых слов из букв слова:

а) стационар

б) ратификация

1. Представьте буквы новых слов в виде множеств и найдите мощность множеств, состоящих из кортежей длины n, где п≥5.

2. Какое слово, полученное из букв данного, имеет наибольшую длину?

3. Найдите новое слово, состоящее из всех тех букв, которые входят в данное слово.

Задание выполняется письменно

Слайд 17

6. Даны множества А₁ = {a, b,c}; A₂ = {c, d, e, f}; U = {a, b, c, d, e, f}. Осуществите над множествами А₁ и A₂ операции: а) объединения; б) пересечения; в) разности; г) дополнения.

Эталоны ответов

а) А₁  A₂ ={a, b, c, d, e, f}

б) А₁  A₂ ={c}

в) А₁ \ A₂ ={a, b}

г) U\ А₁ ={d, e, f}, U\ A₂ = {a, b}

Задание выполняется письменно

7. Даны множества А = {1,3}; В = {2, 3, 4}; С= {2,4}, U = {1, 2, 3, 4}.

Найти: а) б) ; в) ; г)

Эталоны ответов

а) = { 2, 4}{1} = {1, 2, 4}

б) = = {1, 2, 4}

в) ={1,3}{1} = (1}

г) = {3}  {1,3} = {1,3}

Слайд 18

Задание выполняется устно

8. Пусть универсальное множество U – множество всех учащихся и преподавателей некоторого техникума; А – множество всех преподавателей; В – множество учащихся, успевающих по всем дисциплинам на «отлично»; С – множество неуспевающих учащихся; D – множество учащихся в группе №1.

Каков содержательный смысл каждого из следующих множеств:

а) (Ответ: множество всех учащихся техникума (без преподавателей));

б) (Ответ: множество преподавателей и учащихся, кроме, успевающих по всем предметам на «отлично»);

в) (Ответ: множество отличников, обучающихся в группе №1);

г) D\C (Ответ: множество учащихся группы №1, справляющихся с учебным планом);

д) (Ответ: множество преподавателей и всех успевающих учащихся;

е) (Ответ: множество преподавателей и отличников из группы №1);

ж) С\D (Ответ: множество неуспевающих учащихся всех групп, кроме первой).

Слайд 19

Задание выполняется письменно

9. Даны отрезки .

Найдите следующие множества и изобразите их на числовой прямой:

а) б) в)

Эталоны ответов

а) б) в)

Слайд 20

Задание выполняется устно

10. Определите мощность множества:

а) б) {0};

в) состоящего из букв слова «математика»;

г) состоящего из букв слова «перпендикулярные»;

д) состоящего из цифр числа 635252;

е) состоящего из цифр числа 1010111.

Эталоны ответов

а) ; б) 1; в) 5; г) 11; д) 4; е) 2.

Слайд 21

Задания 10- 15 выполняется письменно

Задание: найдите решение задачи

11. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Слайд 22

12. Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали только один мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Слайд 23

13. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом? 

Слайд 24

14. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? 

Эталоны ответов

11. 5

12. 8

13. 19 (ничем не увлекаются), 5 занимаются только спортом

14. 29

«5» –студент дал не менее 5 верных ответов при выполнении устных/письменных упражнений первым или работал у доски самостоятельно и достиг верного результата;

«4» – студент дал не менее 4 верных ответов при выполнении устных/письменных упражнений первым или работал у доски частично самостоятельно (с наводящими вопросами) и достиг верного результата;

«3» – студент работал у доски, но верный результат был достигнут только с помощью преподавателя.

Приложение 3

Задания для предварительного контроля знаний

Слайд 22

«5» –все ответы совпадают c эталоном;

«4» – дано три верных ответа;

«3» – дано два верных ответа;

«2» – дано менее двух верных ответов.

Слайд 25

1. Работа с учебником [1, стр. 244-251], повторение материала;

2. Решение задач:

   1. В отделе института работают несколько человек. Каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, причем: 6 знают немецкий, 6 – английский, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 – все три языка. Сколько всего человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский?

   2. Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 – не посещают кружки. Сколько учеников посещают математический и физический кружки одновременно, сколько – только математический?

Эталоны ответов

1. 10 человек работают в отделе, 0 – знают только английский

2. 6 человек посещают математический и физический кружки одновременно, 14 человек – только математический

Критерии оценки

«5» –все ответы совпадают c эталоном и представлено развернутое решение;

«4» – дано одно верное решение и представлено развернуто;

«3» – дано одно верное решение, но при ответе допускает ошибки;

«2» – задание не выполнено.

Слайд 26

1. Гилярова, М. Г. Математика для медицинских колледжей: учебник. – Ростов н/Д: Феникс, 2019. – 457 с.: ил. – (Среднее медицинское образование).

2. Михеев, В.С. Математика: учеб. пособие [Текст] / В.С. Михеев [и др.]; под ред. Н.М. Демина. –Ростов н/Д : Феникс, 2009. – 896 с. – (Среднее профессиональное образование).

1