Основные тригонометрические тождества.

Дата проведения:

Тема урока: Основные тригонометрические тождества.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

ЦЕЛИ УРОКА:

1)ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ: вывод формул зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса числа по заданному значению одного из них.

2)РАЗВИВАЮЩАЯ: учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия..

3)ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям.

ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УРОКА: учебник, тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы.

Литература: А.Н.Колмогоров; А.Ш.Алимов

ХОД УРОКА

1. Организационный момент: приветствие, проверка явки учащихся, заполнение журнала.

2. Проверка готовности учащихся к уроку: настрой учащихся на работу, доведение до них плана урока.

3. Новая тема: Рассмотрим точку В(х;у), лежащую на тригонометрической окружности . Она получена поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол  .

Синусом угла   является ордината точки В(х;у). Косинусом угла  является её абсцисса.

Рисунок 1 – точка В на тригонометрической окружности

Образовался прямоугольный треугольник ОВС. По теореме Пифагора 

Катет ОС - это абсцисса точки В или  , катет ВС- её ордината, или  а гипотенуза ОВ - радиус единичной окружности, ОВ=1.Получаем формулу:

 (1)

В тригонометрии её называют основным тригонометрическим тождеством. Она связывает синус с косинусом. А это значит, чо зная значения синуса, можно найти значения косинуса и наоборот.

 (2)

 (3)

В этих равенствах знаки перед корнем определяются по знакам синуса и косинуса.

4.Закрепление

Пример1. Найти  , если   ,  .

Выясним знак косинуса. Из условия определяем, что угол   в 4 четверти,  Подставим значение   в формулу (3), получаем:

Ответ:  .

Пример2. Могут ли одновременно выполняться равенства   и 

Чтобы одновременно выполнялись эти равенства, необходимо выполнение условия

. Подставим данные значения в формулу и проверим верно ли равенство: .

; 1=1, верно.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно

Пример3. Известно, что  , найти  .

Возведём в квадрат левую и правую части равенста:

; учтём, что   ,

; ;

А какая же зависимость между тангенсом и котангенсом одного угла?

По определению :  ,  .

Перемножим эти равенства и получим формулу, которая связывает тангенс и котангенс:

.

, (4)

 и   , причём угол   и 

Из этих формул видно, что тангенс и котангенс являются взаимнообратными числами.

Если  , то   . Пример4. Могут ли одновременно выполняться равенства   и  ? Подставляем данные значения в формулу (4) и получаем верное равенство.

.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

А есть ли связь между тангенсом и косинусом? Рассмотрим равенство 

и обе части возведём в квадрат: . Используя формулы (2) и (3), получаем:

 , , (5) где 

По этой формуле можно находить значение тангенса по заданному значению косинуса и наоборот находить косинус, если известен тангенс.

Пример5 . Известно, что  ;   . Найти  ,   и  .

Угол   в первой четверти, значит все значения положительны. Найдём их по тригонометрическим формулам.

1. ;

2. ;

3. .

Применяя тригонометрические формулы, можно зная одно из чисел  ,  ,   и  , найти остальные три. Эти формулы являются тождествами.

Определение: Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

5.Итог урока

Оценивание, Д/З