Основы математического анализа

§15 Полярная система координат

Кроме знакомой нам прямоугольной системы координат на плоскости можно рассматривать и другие системы координат. Одной из них является полярная система координат.

Выберем на плоскости произвольно точку и назовём её полюсом. Из этой точки проведём какой – нибудь луч , считая направление луча положительным. Если на луче выбрать единицу измерения, то этот луч превратится в ось, которую называют полярной осью. Совокупность полюса и полярной оси образует полярную систему координат. Пусть произвольная точка плоскости, на которой задана полярная система координат. Тогда точку можно единственным образом охарактеризовать с помощью двух параметров: расстояния от до полюса , которое называют полярным радиусом точки , и углом , который образует вектор с полярной осью. Этот угол называют полярным углом (см. рисунок 5). При этом пару чисел и называют полярными координатами точки , и этот факт обозначают символом . Поскольку точка на плоскости была взята произвольно, то утверждаем, что любую точку плоскости можно определить по её полярным координатам .

O

1

Рисунок 5.

Теперь рассмотрим связь между декартовыми и полярными координатами произвольно взятой точки на плоскости. Предположим, что на плоскости заданы прямоугольная декартова система координат и полярная система координат с полюсом и полярной осью . При этом, расположим полярную систему координат так, чтобы полюс совпал с началом декартовой системы координат, полярная ось ℓ совпала с положительной полуосью и единица измерения полярной системы координат совпала с единицей измерения оси .

Возьмём произвольно точку на плоскости и пусть её декартовы координаты, а её полярные координаты (см. рис. 6).

1

O

1

Рисунок 6.

Проведём перпендикуляр из точки к оси и рассмотрим треугольник .

Из этого треугольника находим . Получили выражение декартовых

координат и через полярные координаты и . Обратим внимание на то, что на рисунке 6 точка взята в первой четверти. Посмотрим, что будет, если точку взять во второй четверти (см. рисунок 7). Здесь из треугольника получаем

1

1

O

Рисунок 7.

, или . Отсюда находим .

Аналогично проверяется справедливость этих равенств в случаях, когда точка находится в третьей или четвёртой четвертях.

Теперь выразим полярные координаты и точки через декартовы координаты и . Из того же треугольника получаем , а для нахождения угла нужно учесть знаки и и равенство .

Найдём, например, полярные координаты точки . Сначала найдём полярный радиус этой точки: . Для нахождения полярного угла заметим, что точка лежит в третьей четверти. Следовательно, полярный угол точки удовлетворяет условию . Проведём перпендикуляр к оси и из треугольника найдём угол . Легко видеть, что , а значит, . Поэтому полярный угол данной точки равен .

Предположим, что некоторая непрерывная кривая на плоскости задана в полярных координатах, т.е уравнением . Для построения какой-нибудь точки данной кривой мы должны провести луч из полюса под углом к полярной оси и отложить на этом луче отрезок длины. Придавая несколько значений и вычисляя для каждого из них по формуле, получим несколько точек кривой. Затем, учитывая непрерывность кривой, плавно соединим полученные точки. Рассмотрим примеры кривых, заданных в полярной системе координат.

1. , где некоторое положительное число.

Из задания кривой легко заметить, что полярный радиус любой точки кривой не зависит от полярного угла . Значит, какой бы луч из полюса мы не провели, на нём надо отложить отрезок длины . Другими словами данная кривая представляет собой множество точек, равноудалённых от полюса на расстояние . Это есть окружность радиуса , центр которой находится в полюсе (см. рисунок 8).

O

Рисунок 8.

2) , где некоторое положительное число.

Составим таблицу некоторых значений , для которых мы знаем значение косинуса. Заметим также, что функция является чётной. Поэтому .

Обратим внимание на то, что при некоторых значениях мы получили отрицательные значения для . Это означает, что противоположные полученным (т.е.положительные) значения нужно откладывать не на самих лучах, а на лучах, им противоположных. Например, при имеем . Лучом, противоположным для является луч . Поэтому отрезок длины нужно отложить на луче . Но как видим из таблицы, такое значение уже в ней имеется. Таким образом, значение не даёт новой точки данной кривой. Мы попадаем в уже имеющуюся точку. То же самое получится при , а также при и . Значит, из построенной таблицы мы получим всего 6 точек кривой (при , , , ). Соединив плавно эти точки, получим данную кривую (см. рисунок 9).

Рисунок 9.

Если построение было выполнено аккуратно, то можно заметить, что полученная кривая напоминает окружность. Для подтверждения догадки найдём уравнение данной кривой в декартовых координатах. Получим.

.

Это знакомое нам уравнение окружности с центром в точке радиуса .

3) , где некоторое положительное число.

Составляем таблицу

Эта кривая называется кардиоидой. Для её построения выберем какое-нибудь конкретное значение , например, . Тогда, имея 7 точек и плавно их соединив, получаем искомую кривую (см. рисунок 10).

ℓ

Рисунок 10

§16 Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Не любую фигуру на плоскости удобно разбивать на криволинейные трапеции, чтобы вычислить площадь этой фигуры. Пример такой фигуры изображён на рисунке 11. Эта фигура ограничена двумя лучами, выходящими из одной точки, и некоторой непрерывной кривой , пересекающей оба луча.

Рисунок 11.

Такую фигуру называют криволинейным сектором. Рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейного сектора. Расположим этот сектор так, чтобы его вершина находилась в полюсе полярной системы координат, а лучи, ограничивающие сектор, образовывали с полярной осью углы и . Положим для определённости, что , а кривая задана полярным уравнением , где функция непрерывна на (см. рисунок 12). Разобьём отрезок на части точками . В результате данный криволинейный сектор разобьётся на маленьких криволинейных секторов (см. рисунок 13). Найдём площадь одного из таких маленьких криволинейных секторов, ограниченного лучами и , где одно из чисел .

ℓ

ℓ

Рисунок 12 Рисунок 13

Если разность достаточна мала, то в силу непрерывности функции можно считать, что значения функции на отрезке мало отличаются друг от друга. Выберем произвольно точку и заменим маленький криволинейный сектор круговым сектором с радиусом . Тогда его площадь будет равна . Проделав такую операцию со всеми маленькими криволинейными секторами, получим приближённое значение площади данного криволинейного сектора . Для получения точного значения площади криволинейного сектора перейдём к пределу в полученном равенстве при условии, что все ( стремятся к нулю Как и при решении задачи о площади криволинейной трапеции обозначим через 𝜆 наибольшую из разностей . Тогда условие обеспечит стремление к нулю всех и мы получим

=.

Покажем, как можно найти площадь круга радиуса , используя полученную формулу. Поместим центр круга радиуса в полюс полярной системы координат на плоскости. Тогда круг можно рассматривать как криволинейный сектор, ограниченный лучами , и непрерывной кривой – окружностью, уравнение которой имеет вид (см. пример 1 из § 15). Значит, применяя полученную формулу, будем иметь

.

Знание формулы для площади криволинейного сектора позволяет при вычислении площадей плоских фигур разбивать их не только на криволинейные трапеции, но и на криволинейные секторы.

В качестве второго примера применения формулы для площади криволинейного сектора найдём площадь фигуры, ограниченной кардиоидой , где некоторое положительное число.

В § 15 эта кривая была построена (см. пример 3). Легко видеть, что кардиоида симметрична относительно полярной оси. Поэтому фигура, ограниченная кардиоидой, лучами и разбивается на две симметричные фигуры, которые имеют одинаковую площадь. Значит, площадь искомой фигуры может быть найдена как удвоенная площадь той части фигуры, которая ограничена самой кардиоидой и лучами и . Поэтому имеем

.

§17. Вычисление объёмов тел.

Рассмотрим в трехмерном пространстве тело , которое лежит между плоскостями и . Требуется вычислить объем этого тела . Воспользуемся идеей решения задачи о площади криволинейной трапеции. Разобьем отрезок произвольным образом на части точками такими, что . Через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную оси . В результате данное тело разобьется на более мелких тел. Вычислим объем одного из таких «маленьких» тел, заключенного между плоскостями и , где одно из чисел . Если разность будет достаточно малой, то фигуры, полученные в сечении тела плоскостями и , будут незначительно отличаться друг от друга. Геометрически это значит, что рассматриваемое нами маленькое тело будет почти цилиндром, объем которого мы можем найти. Длина высоты этого цилиндра равна , а качестве основания можно взять фигуру, полученную в результате сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через произвольно выбранную точку на оси . Таким образом, объем маленького тела, заключенного между плоскостями и , приближенно будет равен , где площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку . Если описанную процедуру проделать со всеми маленькими телами, то получим приближенное значение объема тела : . Точное значение объема получим в результате предельного перехода при , где . Итак,

,

где площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку .

Вычислим, например, объем пирамиды с площадью основания и высотой . Расположим пирамиду так, чтобы ее вершина совпала с началом прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, а высота пирамиды лежала на положительной полуоси оси (см. рисунок 14).

Рисунок 14.

Выберем произвольно точку . Обозначим через площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку . Выразим через , пользуясь свойством сечений пирамиды плоскостями, параллельными основанию: в пирамиде площади сечений плоскостями, параллельными основанию, относятся как квадраты расстояний этих сечений до вершины. Получаем . Отсюда . Следовательно,

.

Особенно просто вычислять объемы тел, которые получаются в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , и непрерывной кривой , вокруг оси . Такие тела называют телами вращения. Упрощение состоит в том, что в сечении тел вращения вокруг оси плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку , получается круг радиуса . Поэтому , а, значит, объем тела вращения вычисляется по формуле

.

Легко сообразить, что ось не имеет преимущества по сравнению с другими осями координат. Например, для получения тела вращения вокруг оси следует вокруг оси вращать криволинейную трапецию, ограниченную прямыми , , и непрерывной кривой . Тогда объем тела вращения будем вычислять по формуле

.

Как пример применения формулы для вычисления объёма тела вращения найдём объем шара радиуса . Для этого рассмотрим на плоскости криволинейную трапецию, ограниченную осью и дугой окружности радиуса с центром в начале координат, лежащей в первой и второй четвертях (см. рисунок 15).

Вращая такую криволинейную трапецию вокруг оси , получим шар радиуса . Уравнение рассматриваемой дуги окружности имеет вид , где . Значит, объем шара находим по формуле

Рисунок 15.

§18. Вычисление длины кривой.

Рассмотрим плоскую кривую без самопересечений, заданную параметрически

, где функции и ψ непрерывны на некотором отрезке .

Предположим, что на кривой выбрано направление, соответствующее возрастанию параметра . Тогда значению будет соответствовать начальная точка кривой (обозначим ее ), а значению будет соответствовать конечная точка (обозначим ее ).

Разобьем отрезок . на части точками так, чтобы . Каждому значению на кривой будет соответствовать точка . Ясно что, , а . Соединим последовательно точки отрезками. В результате получим ломаную, вписанную в кривую . Отрезок назовем ым звеном ломаной. По формуле расстояния между двумя точками найдём длину го звена ломаной:

.

Зная длину каждого звена ломаной, можно найти длину всей ломаной .

Очевидно, что, неограниченно уменьшая разности , , мы будем приближать длину ломаной к длине кривой. Поэтому, обозначив , назовем длиной кривой .

Для вычисления длины кривой потребуем дополнительно, чтобы функции и ψ имели непрерывные производные на . Тогда функции и ψ будут удовлетворять условиям теоремы Лагранжа на каждом из отрезков . Следовательно,

и

.

Поэтому длину ломаной, вписанной в кривую , можно записать в виде

.

Сравним эту сумму с интегральной суммой для функции на . Рассмотрим разность и сделаем оценку модуля этой разности. Получим.

.

Теперь заметим, что , а .

Поэтому . Таким образом, получаем оценку

По условию функция непрерывна на , а значит и равномерно непрерывна на (по теореме Кантора). Следовательно, выбрав произвольно , для числа найдем такое, что

.

Таким образом, если разбить отрезок на части длиной меньше, чем , то при всех будет выполняться условие . Поэтому из условия будем иметь

.

Это значит, что , где , или .

Учитывая, что , а представляет собой длину кривой Отсюда получаем формулу для вычисления длины кривой, заданной параметрически , где функции и ψ непрерывны и имеют непрерывные производные на :

.

Если кривая задана на отрезке уравнением , где функция имеет непрерывную производную на , то, записывая уравнение кривой в параметрическом виде , получаем формулу

.

В заключение параграфа рассмотрим специфический случай параметрического задания кривой, когда в качестве параметра используется длина переменной дуги.

Пусть имеем кривую , заданную параметрически , где функции и ψ непрерывны и имеют непрерывные производные на . Тогда каждому значению будет соответствовать определенная точка на кривой. При этом будем считать, что , если и , если . Заметив, что точка единственным образом определяет дугу кривой , можно каждому значению поставить в соответствие длину дуги , которая будет равна . Другими словами, получим функцию , значениями которой являются длины различных дуг кривой . При этом значению будет соответствовать длина всей кривой . Эта функция дифференцируема на и по свойству интеграла с переменным верхним пределом .

Если при некотором значении выполняется условие , то точка кривой , соответствующая этому значению , называется особой точкой. Легко видеть, что условие равносильно условию . Будем считать, что на кривой особых точек нет. Тогда . Это значит, что функция является монотонно возрастающей на , а, следовательно, имеет обратную функцию , определенную на . Таким образом, можно получить новые параметрические уравнения данной кривой , где , в которых параметром служит длина переменной дуги. Во некоторых вопросах использование параметра вместо произвольного параметра является более удобным.

§19. Вычисление площадей поверхностей вращения.

Пусть на плоскости имеем кривую и прямую , не пересекающую . Поверхность, полученную в результате вращения кривой вокруг прямой , называют поверхностью вращения. Предположим, что в кривую вписана ломаная . Легко видеть, что каждое звено ломаной при вращении кривой вокруг прямой опишет либо круговое кольцо (если звено ломаной перпендикулярно ), либо боковую поверхность цилиндра (если звено ломаной параллельно ), либо боковую поверхность конуса (если один из концов звена ломаной лежит на ), либо боковую поверхность усеченного конуса (в остальных случаях). Следовательно, при вращении кривой ломаная опишет некоторую поверхность, состоящую из круговых колец, боковых поверхностей цилиндра, конуса или усеченного конуса. Обозначим через площадь этой поверхности, и пусть . Тогда площадью поверхности, полученной в результате вращения кривой вокруг прямой , назовем .

Перейдем к вычислению площади поверхности вращения. Предположим, что кривая задана параметрически, а в качестве параметра используется длина переменной дуги , т.е. кривая задана уравнениями , где функции и непрерывны и имеют непрерывные производные на . Будем считать, что вращение осуществляется вокруг оси прямоугольной декартовой системы координат .

Разобьем отрезок на части точками так, что . Для каждого значения получим на кривой точку . Соединив последовательно точки , получим ломаную , вписанную в кривую , где , . Рассмотрим площадь поверхности, образованной вращением отрезка (го звена ломаной). Как уже было отмечено, при этом может получиться круговое кольцо или боковая поверхность цилиндра, конуса или усеченного конуса. Рассматривая круговое кольцо, цилиндр и конус как частные случаи усеченного конуса, найдем площадь поверхности, образованной вращением отрезка вокруг оси , по формуле . После суммирования этих равенств по получим

Сравним эту сумму с суммой , где .

Теперь заметим, что длина кривой не меньше длины хорды , т.е. при всех . Просуммировав эти неравенства по , получим

.

Следовательно, для разности имеем следующую оценку

.

По условию функция 𝛹 непрерывна на . Поэтому по второй теореме Вейерштрасса среди ее значений есть наибольшее. Обозначим его через . Тогда имеем и . Таким образом, приходим к неравенству

.

Перейдем в этом неравенстве к пределу при . Получим

.

Так как , предел правой части последнего неравенства равен нулю. Значит по теореме о сжатой функции , или .

Обозначив и заметив, что условия и равносильны, будем иметь

Таким образом, для вычисления площади поверхности вращения получили формулу

.

Теперь найдём формулу для вычисления площади поверхности вращения для случая, когда кривая задана параметрически, но в качестве параметра используется не длина переменной дуги. Пусть кривая задана в виде , где , а функции и 𝛹 имеют непрерывные производные на . Сделаем замену переменной . Функция , определённая на отрезке , имеет непрерывную производную ; , . Поэтому, по теореме 5.7, получаем

.

Если же кривая задана уравнением , где и функция имеет непрерывную производную, то .

§20. Понятие о несобственных интегралах.

Рассматривая определенный интеграл , мы считали промежуток интегрирования конечным, а функцию ограниченной на нем. Понятие определенного интеграла можно обобщить в двух направлениях: на случай бесконечного промежутка интегрирования и на случай неограниченной на функции .

Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом конечном промежутке . Несобственным интегралом первого рода называют и обозначают символом . Если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, а функцию интегрируемой на . Если же не существует или бесконечен, то называют расходящимся.

Исследуем, например, на сходимость . Функция интегрируема на любом конечном промежутке , причем . Следовательно, . Это значит, что данный интеграл сходится.

Аналогично можно определить , а именно, .

Введем теперь понятие несобственного интеграла первого рода от функции на интервале . Выберем произвольно число и положим

Если каждый из интегралов в правой части равенства сходится, то интеграл называют сходящимся. Если же хотя бы один из интегралов в правой части равенства расходится, то называют расходящимся.

Допустим теперь, что функция определена на и не ограничена в точке . Зададим произвольно так, чтобы . Если функция интегрируема на отрезке , то можно определить как . В этом случае называют несобственным интегралом второго рода.

Он будет сходящимся, если существует и конечен и расходящимся в противном случае.

Аналогично если функция определена на , не ограничена в точке и интегрируема на (где ), то определяют как . Если функция не ограничена во внутренней точке , но определена во всех остальных точках отрезка, то для определения интеграла отрезок разбивают на два промежутка и и определяют как .

В случае, когда на отрезке функция имеет несколько точек неограниченности, его разбивают на несколько промежутков так, чтобы каждый промежуток содержал лишь одну точку неограниченности и определяют как сумму интегралов на каждом из промежутков.

Можно показать, что для несобственных интегралов справедливы все свойства и методы интегрирования определенных интегралов.

Рассмотрим пример. Исследуем на сходимость . Легко видеть, что подинтегральная функция определена и непрерывна на , а в точке неограничена. Следовательно, данный интеграл является несобственным второго рода. По определению . Вычислим методом замены переменной. Положим . Найдем новые пределы интегрирования: нижний будет равен , а верхний . Таким образом,

.

Значит, , т.е сходится.

§21. Приближенное вычисление определенных интегралов.

Предположим, что функция непрерывна, но не интегрируема в конечном виде на . В таких случаях вычисляют приближенно. Идея вычисления состоит в следующем. Выбираем некоторое разбиение с отмеченными точками отрезка ., составляем интегральную сумму и заменяем точное равенство на приближенное . Для упрощения вычислений отрезок обычно разбивают на равные части, а точки выбирают по одному и тому же правилу для всех . Например, в качестве можно выбрать один из концов отрезка , середину отрезка или еще как-нибудь.

Поскольку отрезок разбивают на равные части, то параметр разбиения . Эту величину называют шагом разбиения и обычно обозначают через .

Рассмотрим некоторые формулы приближенного вычисления определенных интегралов.

1. Пусть, например, в качестве точек выбраны середины отрезков , т.е. , или .

Тогда , или .

Эту формулу называют формулой прямоугольников.

1. Если в качестве точек выбрать такие точки, чтобы , то получим

, или .

Эту формулу называют формулой трапеций.

Ясно, что точность приближенного вычисления определенных интегралов зависит от Чем больше число точек деления отрезка (чем меньше шаг ), тем точнее результат. Современный уровень развития вычислительной техники позволяет вычислять определенные интегралы практически с любой степенью точности.

118