Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Перпендикулярные прямые

в пространстве

• Повторение:

Перпендикулярные прямые на плоскости

Две пересекающиеся прямые называют перпендикулярными ,

если они образуют прямых угла .

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными , если угол между ними равен .

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей,

то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано : , .

Доказать : .

Доказательство :

1. ,

2.

3. ,

4. ,

5.

Что и требовалось доказать.

3. Задача. Назвать все рёбра прямоугольного параллелепипеда ,

которые перпендикулярны к ребру .

Задача. Назвать все рёбра прямоугольного параллелепипеда ,

которые перпендикулярны к ребру .

Решение.

1. , так как прямоугольник

2. ,

3. ,

4. , так как прямоугольник

5. , так как прямоугольник

6. ,

7. ,

8. , так как прямоугольник

Ответ: , , , , , , , .

4. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости ,

если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

«Прямая перпендикулярна к плоскости .»

5. Свойство перпендикулярной прямой и плоскости

Свойство. Если прямая перпендикулярна к плоскости ,

то она пересекает эту плоскость.

6. Примеры перпендикулярной прямой и плоскости

Задача. Точки , и лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости ,

а точки , , и лежат в плоскости . Какие из данных углов являются прямыми?

б)

а)

в)

г)

д)

Решение.

а)

Задача. Точки , и лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости ,

а точки , , и лежат в плоскости . Какие из данных углов являются прямыми?

б)

а)

д)

г)

в)

Решение.

а)

б)

Задача. Точки , и лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости ,

а точки , , и лежат в плоскости . Какие из данных углов являются прямыми?

б)

а)

д)

г)

в)

Решение.

а)

б)

в) Допустим, что .

В ?!

Допущение не верно, .

Задача. Точки , и лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости ,

а точки , , и лежат в плоскости . Какие из данных углов являются прямыми?

б)

а)

д)

г)

в)

Решение.

б)

а)

в) Допустим, что .

В ?!

Допущение не верно, .

г)

Задача. Точки , и лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости ,

а точки , , и лежат в плоскости . Какие из данных углов являются прямыми?

б)

а)

в)

г)

д)

Решение.

б)

а)

в) Допустим, что .

В ?!

Допущение не верно, .

д) Допустим, что .

В ?!

Допущение не верно, .

г)

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

,

Доказательство.

1.

2. ,

Какую бы прямую на плоскости

мы не взяли в качестве ,

последнее утверждение будет всегда верным.

Значит, перпендикулярна к любой прямой из .

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

,

Доказательство.

1. ,

2.

3. ,

4. ,

5.

6.

Что и требовалось доказать.

Задача. , и . см.

Определить вид четырёхугольника и найти его периметр.

Решение.

1. ,

2.

,

Из пунктов и параллелограмм

4.

5.

7. квадрат

8. (см)

Из пунктов и прямоугольник

Ответ: квадрат, см .

Задача. Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена прямая , перпендикулярная к плоскости квадрата.

Найти расстояния от точки до каждой из вершин квадрата, если .

Задача. Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена прямая , перпендикулярная к плоскости квадрата.

Найти расстояния от точки до каждой из вершин квадрата, если .

Решение.

1.

2. ,

3.

по двум катетам

4.

Задача. Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена прямая , перпендикулярная к плоскости квадрата.

Найти расстояния от точки до каждой из вершин квадрата, если .

Решение.

1.

2. ,

3.

по двум катетам

4.

5. по т. Пифагора

6.

Задача. Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена прямая , перпендикулярная к плоскости квадрата.

Найти расстояния от точки до каждой из вершин квадрата, если .

Решение.

1.

2. ,

3.

по двум катетам

4.

5. по т. Пифагора

8.

6.

Ответ: .

7. по т. Пифагора

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости ,

Прямая называется перпендикулярной к плоскости ,

если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,

если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Обратная теорема.

Если прямая перпендикулярна к плоскости ,

Обратная теорема.

то она пересекает эту плоскость.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

,

,