Перпендикулярность плоскостей

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости называются перпендикулярными , если угол между ними прямой.

Теорема. (Признак перпендикулярности двух плоскостей.) Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую a , перпендикулярную плоскости β , c – линия пересечения плоскостей α и β. Докажем, что плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости β через точку пересечения прямой a с плоскостью β проведем прямую b , перпендикулярную прямой c . Через прямые a и b проведем плоскость γ . Прямая c будет перпендикулярна плоскости γ , так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b в этой плоскости. Поскольку прямая a перпендикулярна плоскости β , то угол, образованный a и b , прямой. Он является линейным углом соответствующего двугранного угла. Следовательно, плоскости α и β перпендикулярны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Упражнение 1

Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 2

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Бесконечно много, если прямая перпендикулярна плоскости, и одну в противном случае.

Упражнение 3

Плоскость α перпендикулярна плоскости β . Будет ли всякая прямая плоскости α перпендикулярна плоскости β ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 4

Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и данной прямой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 5

Плоскость и прямая параллельны. Будет ли верно утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна и данной плоскости?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 6

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC ( C = 90°) перегнули по высоте CD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 90 о , 60 о .

Упражнение 7

В кубе A … D 1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, перпендикулярные плоскости: а) ABC ; б) BCD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а ) ABB 1 , BCC 1 , CDD 1 , ADD 1 , ACC 1 , BDD 1 ;

б ) AAB 1 , CDD 1 , AB 1 C 1 .

Упражнение 8

В правильной шестиугольной призме назовите плоскости, проходящие через вершины призмы и перпендикулярные плоскости: а) ABB 1 ; б) ACC 1 ; в) ADD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) ABC , A 1 B 1 C 1 , AEE 1 , BDD 1 , AB 1 D 1 , BA 1 E 1 ;

б) ABC , A 1 B 1 C 1 , AFF 1 , CDD 1 , BEE 1 , AC 1 D 1 ; CA 1 F 1 ;

в) ABC , A 1 B 1 C 1 , BFF 1 , CEE 1 .

Упражнение 9

Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. ABB 1 ADD 2 , BCC 1 , CDD 2 , A 1 D 1 C 2 , ACC 1 , BDD 2 , AA 2 C 2 , BB 1 D 1 , CC 1 A 1 , A 1 B 2 D 2 .

Упражнение 1 0

Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ADD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. ABC , ABB 1 , CDD 1 , A 1 A 2 D 2 , A 3 B 3 C 3 , ABC 1 , CDA 1 , B 2 C 3 D 3 , B 3 C 2 D 2 , AD 3 C 3 , DA 3 B 3 .

Упражнение 11

Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 12

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 13

Существует ли пирамида, у которой три боковые грани перпендикулярны основанию?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 1 4

Могут ли боковыми гранями наклонной призмы быть: а) 2 прямоугольника; б) 3 прямоугольника; в) 4 прямоугольника?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) Да ;

б) д а ;

в) д а .