Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости

Проверка домашнего задания

• Построить прямоугольный треугольник и прямую параллельную гипотенузе, не лежащую в плоскости треугольника. Описать чертеж.
•   Построить квадрат и прямую, пересекающую его в точке пересечения диагоналей. Описать чертеж.
• Построить два ромба, параллельных друг другу.
•   Построить равнобедренный треугольник, провести медиану, биссектрису и высоту к основанию треугольника. Описать чертеж.
•   Построить равнобокую трапецию и плоскость, пересекающую трапецию по средней линии.
•   Построить квадрат, вписанную в него окружность и провести прямую вне плоскости квадрата параллельно диаметру вписанной окружности.

Внимание!!!

• Тест по теме «Параллельность в пространстве»

Перпендикулярные прямые в пространстве

Определение: Две прямые называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90 о

с

а

b

α

а  b

c  b

Признак перпендикулярности прямых

• Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
•  

О ком идет речь?

• Это – древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель политический, религиозный деятель.

• Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище - Самосский),

• где он появился на свет приблизительно в 580 г. до н.э.

• Согласно древним источникам, с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота.
• Его одаренность также проявилась в раннем возрасте.

Основал свою школу

• Знак его школы

• Где основой было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний

Со своими учениками

Гимн

восходящему

Солнцу

Картина Бронникова Ф.А .

Дерево его имени

гипотенуза

с

а

с² = а² + в²

в

катеты

Теорема Пифагора

• c 2 =а 2 +b 2
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

С

b

а

Cоотношение углов и сторон

• При решении стереометрических задач часто используются тригонометрические функции.
• Запишем все четыре тригонометрические функции для угла А треугольника АВС.

sin A=a/c

cos A=b/c

tg A =a/b

ctg A=b/a

А

С

b

а

Задача 1. Прямые АВ, АС и АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если АВ=3см, ВС=7см, АД=1,5см.  

• 1) Сколько можно провести прямых, через данную точку перпендикулярно данной прямой на плоскости?

• 2) Сколько можно провести прямых, через данную точку перпендикулярно данной прямой в пространстве?

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

а

α

а  α

Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости

а

α

а  α

Свойства

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости .

a

а || а 1 ; a  α

а 1

а 1  α

α

2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

β

с

а  α; b  α

α

а || b

b

a

Задачи№2

• Дано: АС, В D Ʇα, АС=3м, В D =2м, С D =2,4м
• Найти: АВ
• Решение:
• Проведем ВКꞱАС

А

?

• Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно.
• Найдите расстояние между точками А и В, если АС=3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

В

К

3

2

• ΔАКВ –прямоугольный
• АК =АС-В D =3-2=1
• ВК=С D=2 ,4

D

2,4

С

α

• По теореме Пифагора
• АВ 2 =2,4 2 +1 2 =5,76+1=6,76
• АВ=√6,76=2,6
• Ответ: 2,6 м.

Рефлексия

• 1) Сколько можно провести прямых, через данную точку перпендикулярно данной плоскости?

• 2) Сколько можно провести прямых, через данную прямую перпендикулярно данной плоскости?

Задания на повторение

Домашнее задание

• 1) Учить конспект
• 2) Прямые АВ, АС и АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если ВД=9см, ВС=16см, АД=5см
• 3) Телефонная проволока длиной 15м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Знать мою теорему!!!