План урока на тему: График функции y=x^2

Урок алгебры в 7 классе

Тема урока: Функция y = x² и её график.

Цели урока:

1. ввести определение функции y = x²; изучить её свойства; научить строить и читать график этой функции; показать прикладной характер изучаемого материала; показать решение уравнений графическим способом;

2. развивающие – развитие мышления (учитель ставит ученикам задачу, для решения которой у учеников еще нет необходимых знаний), развитие памяти (на этапе актуализации опорных знаний и способов действий); развивать навыки исследовательской работы; графическую культуру учащихся;

3. воспитательные – формирование учебно-коммуникативных, учебно-интеллектуальных умений, воспитание интереса к изучению математики, воспитывать целенаправленное отношение к деятельности, аккуратность, наблюдательность, интерес к окружающим явлениям.

Тип урока: изучение нового материала

Формы обучения: в парах, фронтальная

Оборудование: доска, компьютер, проектор, презентация, бланки математического исследования; тексты самостоятельной работы.

Этапы урока:

1. Организационный момент (1 мин) и мотивация

2. Актуализация опорных знаний и способов действий (5 мин).

3. Ознакомление с новым материалом (15 мин).

4. Закрепление нового материала (20 мин).

5. Постановка домашнего задания (1 мин).

6. Подведение итогов урока (3 мин).

Ход урока.

1.Организация начала урока и мотивация. ( Обеспечение мотивации)

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя.

Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

- Что есть больше всего на свете? – Пространство.

- Что быстрее всего? – Ум.

- Что мудрее всего? – Время.

- Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

2. Актуализация опорных знаний и способов действий и сообщение темы и цели урока

Задачи: обеспечение принятия учащимися цели учебной деятельности, актуализация опорных знаний и умений

Сейчас мы вспомним и повторим пройденный материал. А вот по какой теме вы узнаете, расшифровав её название, заменив каждую пару чисел буквой.

у

функция

х

Повторение теоретических сведений.

Объясните предложенные термины.

Функция

Аргумент

График функции

Область определения.

Линейная функция.

Укажите область определения функции: y = 16 – 5x; y =

y = y =

Как известно, всякая функция описывает процессы движения и изменения, происходящие в окружающем нас мире.

Рассмотрим, например, зависимость площади квадрата от его стороны.

- Что будет происходить с площадью квадрата, если мы будем изменять длину его стороны?

- Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Как измениться его площадь?

- А если сторону уменьшить в 4 раза, что произойдёт тогда?

- Какой формулой задаётся зависимость площади квадрата от его стороны?. (S = a²)

- Будет ли зависимость площади квадрата от его стороны являться функцией? Объясните ответ.

Если в формуле S = a² площадь обозначить через y, а длину стороны через х, то рассмотренная нами функции задаётся формулой вида y = x², которую называют квадратичной.

3. Изучение нового материала.

По словам французского писателя Оноре де Бальзака «Ключом ко всякой науке является вопросительный знак». Поэтому мы сейчас проведём небольшое математическое исследование и попытаемся ответить на вопросы: что представляет собой функция y = x²?; какими свойствами она обладает?; как выглядит её график? Все результаты исследований вы будете заносить в протокол исследования. (У каждого ребёнка на парте специальный бланк). (Приложение).

● Работу начнём с того, что составим таблицу соответственных значений x и y рассматриваемой нами функции. (Задание №1 математического исследования).

Дети самостоятельно заполняют таблицу, можно использовать таблицу квадратов двузначных чисел.

● Проверьте ваши результаты. (Правильные ответы на слайде).

● Выполним Задание №2. Построим график функции.

По данным таблицы учащиеся строят график функции, учитель оказывает необходимую помощь «слабым» детям.

● Давайте посмотрим, что у нас получилось. (Изображение графика на слайде).

● Итак, мы построили кривую, которая является графиком функции y = x². Ясно, что этот график неограниченно продолжается вверх, справа и слева от оси y. Обратите внимание, ребята, на вид графика вблизи начала координат. Для значений х, близких к нулю, график практически сливается с прямой Ох. В таком случае говорят, что кривая касается оси абсцисс.

● График функции y = x² называют параболой. Откуда взялось это название и что оно означает?

Презентация «Многоликая парабола».

Историческая справка.

Древнегреческий математик Аполлоний Пергский где – то за 200 лет до нашей эры разрезав конус, линию среза назвал параболой, что в переводе с греческого означает «приложение» или «притча», о чём математик и написал в восьмитомнике «Конические сечения». И долгое время параболой называли лишь линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.

● Параболу часто можно встретить на практике.

Знаете ли вы, что:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного или баскетбольного мяча, артиллерийского снаряда является параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). То есть всё, что мы бросим под углом к горизонту, будет лететь по параболе, поскольку движение под действием гравитации подчиняется законам квадратичной функции.

Струйки воды фонтана также описывают траекторию в виде параболы.

Форму параболы принимают орбиты комет, спутников и космических кораблей.

Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы (определённой точке), отражаются параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, а также параболических антенн.

● Многоликую параболу можно встретить и в природе.

Невероятно, но факт!

Например, перевал в горном районе Ергаки (Саяны, Сибирь) напоминает по форме параболу. Он так и называется перевал Парабола.

Или вот это дерево!

Презентация «Функция y = x² и её график».

● Продолжим наше исследование. Наша задача выяснить, какими свойствами обладает функция y = x² и как эти свойства отражаются на её графике. Для этого выполните Задание №4.

Опираясь на таблицу значений и график функции, учащиеся заполняют таблицу в бланке исследования, получая при этом свойства функции и отражение этих свойств на графике.

Учитель контролирует работу и оказывает необходимую помощь.

● Обсудим свойства функции y = x².

Учащиеся формулируют свойства, а учитель, с помощью детей, комментирует их и делает необходимые дополнения, используя слайды.

- Область определения функции D(f): любое число. Действительно, любое число х можно возвести во вторую степень.

- Если х = 0, то y = 0. График функции, следовательно, проходит через начало координат.

- Если х ≠ 0, то y 0. Действительно, квадрат любого числа, отличного от нуля, есть число положительное. Значит, все точки графика функции, кроме точки (0; 0), лежат выше оси х, т. е. в I и II координатных четвертях.

- Исходя из того, что функция принимает только неотрицательные значения, т. е. y ≥ 0, можно сделать вывод, что область значений функции E(f): все значения y ≥ 0, . т. е. неотрицательные.

- Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (- х)² = х² при любом х. Например, (-3)² = 3² = 9. Таким образом, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y. Говорят, график функции симметричен относительно оси y. Заметим, что такие функции называются чётными.

● Ещё раз вернёмся к параболе и перечислим её геометрические свойства:

Геометрические свойства параболы.

- Обладает симметрий. Осью симметрии является ось ординат.

- Ось разрезает параболу на две части, которые называют ветвями параболы.

- Точка (0; 0), в которой смыкаются ветви, называется вершиной параболы.

- Парабола касается оси абсцисс.

4. Закрепление изученного материала.

● Русский писатель Л. Н. Толстой сказал: «Знание – орудие, а не цель». Давайте учиться использовать полученные вами сегодня знания как орудие для выполнения заданий различного характера.

● Начнём с элементарного.

Выполняя упражнения, учащиеся должны опираться на свойства функции и графика.

● Используя график функции y = x² (рис. 61 учебника), найдём:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному: 1,4; - 1,4; - 2,6; 3,1; - 3,1;

Учитывая симметрию графика относительно оси ординат достаточно определить значения y для неотрицательных значений х.

б) значения аргумента, при котором значение функции равно 4; 6;

Достаточно найти одно из значений, а другое значение будет ему противоположным.

в) несколько значений х, при которых значения функции меньше 4; больше 4.

● Выполните задание №1 Самостоятельной работы. (Приложение)

● Вспомните, как устанавливается принадлежность точки графику заданной функции?

● Определим, принадлежит ли графику функции y = x² точка:

а) P(-18; 324); б) R (- 99; - 9081); в) S(17; 279).

а) Точка P лежит во II координатной четверти, поэтому она может принадлежать графику. Подставляя координаты точки P в формулу, получим 324 = (-18)²; 324 = 324 – верное равенство. Точка P принадлежит графику функции.

б) Точка R лежит в IV координатной четверти, значит, она не может принадлежать графику, поскольку все точки графика функции y = x² лежат в верхней полуплоскости, т. е. в I и II координатных четвертях.

в) Точка S лежит в I координатной четверти, она может принадлежать графику функции. Подставляя координаты точки в формулу, получим 279 = 17²; 279 = 289 – неверное равенство. Точка S не принадлежит графику.

● Определите, не выполняя вычислений, какие из точек не принадлежат графику функции y = x². Ответ объясните. (Упражнение выполняется устно).

(-1; 1); (-2; -4); (0; 8); (3; -9); (1,8; 3,24); (16; 0).

● При каких значениях a точка P(a; 64) принадлежит графику функции y = x². (Упражнение №492 учебника).

● Выполните задание №2 Самостоятельной работы. (Приложение).

С помощью графиков функций можно найти приближённые значения корней некоторых уравнений, т. е. решить уравнение графическим способом. Разберём на примерах данный способ решения. Решим графическим способом уравнения:

а) х² = 5; б) х² = - 1; в) х² = х + 1.

Объяснение ведётся согласно учебнику (Пример 1).

● Следовательно, алгоритм решения уравнения графическим способом состоит в следующем:

1. Построить в одной системе координат графики функций, стоящих в левой и правой части уравнения.

2. Найти абсциссы точек пересечения графиков. Это и будут корни уравнения. Если точек пересечения нет, значит, уравнение не имеет корней.

● Выполните задание №3 Самостоятельной работы. (Приложение).

5. Контрольные вопросы.

● Как называется график функции y = x²?

● Как на координатной плоскости расположен график функции y = x²?

● Какова область определения функции y = x²?

6. Подведение итогов урока.

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

- Я узнал…

- Я почувствовал…

- Я увидел…

- Я сначала испугался, а потом…

- Я заметил, что …

- Я сейчас слушаю и думаю…

- Мне интересно следить за…

7. Домашнее задание.

● Изучить п37.

● Выполнить упражнения №37.19 (в,г), 37.29