Площадь многоугольника

Площадь

многоугольника

Геометрия, 8 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна, пп. 49-51

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Понятие площади многоугольника

Площадь комнаты

28 квадратных метров

Понятие площади многоугольника

Площадь участка 20 соток

Понятие площади многоугольника

Площадь поля 5 гектаров

Понятие площади многоугольника

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник

Измерение площадей

Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения.

За единицу измерения площадей принимают квадрат , сторона которого равна единице измерения отрезков:

1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км.

Квадрат со стороной 1 мм называют квадратным миллиметром, обозначают: 1 мм 2

1 мм

Квадрат со стороной 1 см называют квадратным сантиметром, обозначают: 1 см 2

1 см

Измерение площадей

Квадрат со стороной 1 дм называют квадратным дециметром, обозначают: 1 дм 2

1 дм

Квадрат со стороной 1 м называют квадратным сантиметром, обозначают: 1 м 2

1 м

Квадрат со стороной 10 м называют аром (сотка), обозначают: 1 а

10 м

Измерение площадей

Квадрат со стороной 100 м называют гектаром, обозначают: 1 га

100 м

Квадрат со стороной 1 км называют квадратным километром, обозначают: 1 км 2

1 км

Единица измерения стороны квадрата

Единица измерения площади

1 мм

1 см

1мм 2

1 дм

1см 2

1 м

1 дм 2

10 м

1м 2

100м

1 а

1 км

1 га

1км 2

Измерение площадей

Единица измерения стороны квадрата

Единица измерения площади

1 мм

1мм 2

1 см

1см 2

1 дм

1дм 2

1 м

10 м

1м 2

1 а

100м

1 км

1 га

1км 2

1 см 2 = 100 мм 2

1 дм 2 = 100 см 2

1 м 2 = 100 дм 2

1 а = 100 м 2

1 га 2 = 100 а

1 км 2 = 100 га

Измерение площадей

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом .

На рисунке изображен прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается 6 раз.

1 см

Площадь прямоугольника равна 6 см 2

1 см

10 см

1 дм

Измерение площадей

2 дм 2

45 см 2

1 дм

10 см

S ~ 2,45 дм 2

Описанный процесс измерения можно продолжить далее, однако на практике он неудобен. Обычно площади фигур вычисляют по определенным формулам, произведя измерения некоторых связанных с фигурой отрезков.

Свойства площадей

1 0 . Равные фигуры имеют равные площади

2 0 . Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

а

3 0 . Площадь квадрата равна квадрату его стороны

S=а 2

Если площади двух многоугольников равны , то эти многоугольники называются равновеликими

S = 6 cм 2

S = 6 cм 2

S = 6 cм 2

S = 6 cм 2

Равносоставленные многоугольники

Если один многоугольник разрезан на несколько многоугольников и из них составлен другой многоугольник, то такие многоугольники называются равносоставленными.

Треугольник и квадрат –

равносоставленные многоугольники

Равносоставленные многоугольники

Любые два равносоставленных многоугольника равновелики

Теорема Бойяи – Гервина:

Если два многоугольника равновелики, то они равносоставленные (1832г.)

Янош Бойяи

1802-1860

ǁ

ǁ

Задачи по чертежам

C

F

B

E

1. ABCD - прямоугольник

СE = ED, S ABCD = Q

Найти S ABF

A

D

B

C

K

2. ABCD - параллелограмм

К є ВС, S ABCD = 24 см 2

Найти S AKD

D

A

H

Задачи по чертежам

3. MNKP - трапеция, КЕ =РЕ, S MNKP = 45 дм 2 .

Найдите S MNS .

N

K

E

Р

S

М

∟

d

Площадь квадрата

Площадь квадрата равна квадрату его стороны

S=а 2

а

C

B

АС=ВD = d

D

A

M

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали

N

d

Задачи по чертежам

а

S=а 2

B

C

O

7. Площадь квадрата АВСD равна 9 см 2 .

Найдите: a) S AOD б) S ABOCD

D

A

12

Задачи по чертежам

C

B

8. Площадь заштрихованного квадрата равна 1. Найти площадь трапеции АВСD.

D

A

9. AB = BC = 3

AF = 5, EF = 2.

Найти S ABCDEF

10. ABCD – квадрат

Найти S ABCD

B

C

C

B

E

D

30 0

D

F

A

K

A

Задачи по чертежам

11. Найдите сумму площадей квадратов, построенных на сторонах прямоугольника со сторонами 5 см и 7 см

5

7

Р

В

С

E

12. ABCD - параллелограмм, DЕ ⏊ AB, DЕ = AB = 10 см.

Найдите S ABCD .

D

А

∟

Площадь прямоугольника

M

N

K

S AMKF = (a + b) 2

(a + b) 2 = S + a 2 + S + b 2

S

S = a 2

a

2S = (a + b) 2 – a 2 – b 2

2S =2ab

C

E

B

S =ab

S

S = b 2

b

F

D

A

b

a

Задачи по чертежам

13. Найдите площадь прямоугольника , если его периметр равен 80 см, а отношение сторон равно 2 : 3

2х

3х

K

14. В прямоугольнике АВСD сторона АD равна 10 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 3 см. Найдите площадь прямоугольника

B

C

O

D

А

H

Задачи по чертежам

K

B

C

15. АВСD – прямоугольник. М, К, Р, Т – середины его сторон. АВ = 6 см, АD = 12 см.

Найдите S MKPT

M

P

D

T

А

P

C

D

16. АВСD – прямоугольник. М, К, Р, Т – середины его сторон. АВ = 16 см, АD = 10 см.

Найдите S AMKCPT

K

T

B

M

А

Задачи по чертежам

∟

∟

C

F

B

ǁ

ǁ

17. АВСD – прямоугольник.

C – середина BF. P АВCD = 46см, ВС на 5 см больше АВ. Найдите а) S ABCD б) S ABF

E

D

А

K

C

D

F

Е

ǁ

18. АВСD – прямоугольник. P ABCD = 44см.

ǁ

DC : АD = 7 : 4.

DE = FC = ½EF

Найдите а) S ABCD б) S ABK

А

B

Задачи по чертежам

B

C

19. АВСD – квадрат, S АВOСD = 48 см 2 .

Найдите а) S ABCD б) P ABCD

O

20. АВСD – квадрат, P АВСD = 48 см.

Найдите S ABCOD

А

D

21. АВСD и MDKP – равные квадраты. АВ = 8 см. Найдите а) S АСКМ б) Р AСКМ

22. АВСD и DСMK – квадраты. АВ = 6 см.

Найдите а) S ОСРD б) Р OCPD

C

B

B

C

M

D

K

А

P

О

P

K

M

А

D

100 0

Задачи по чертежам

C

B

23.

АВСD – трапеция,

∠ А=45 0 , ∠С = 100 0 ,

АВРК – параллелограмм,

D є BP, ∠BDC = 35 0 , BD : DP = 2 : 1

P ABPK = 30 см

Найдите S ABРК

35 0

А

D

45 0

P

K

135 0

Задачи по чертежам

Р

24.

К

МРКО – трапеция,

∠ М=45 0 , ∠К = 135 0

MPDT – параллелограмм,

PD ǁ KO,

PD ⋂ MO = A,

PA : AD = 1 : 3

S MPDT = 36 см 2

Найдите P MPDT

О

А

45 0

М

А

D

T