"Площади фигур" подготовка к ОГЭ

ПЛОЩАДИ ФИГУР

Квадрат

1. 

Сторона квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его площадь.

Ответ: 100

2. 

Периметр квад­ра­та равен 40. Най­ди­те площадь квадрата.

Ответ: 100

3. 

Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

Ответ: 28

4. 

Пе­ри­метр квад­ра­та равен 160. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та.

Ответ: 1600

5. 

Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 1.

Ответ: 0,5

6. 

Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 83.

Ответ: 27556

Прямоугольник

1. 

В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 10, дру­гая сторона равна 12. Най­ди­те площадь прямоугольника.

Решение.

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сторон, по­это­му она равна 120.

 

Ответ: 120.

2. 

В пря­мо­уголь­ни­ке диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те площадь прямоугольника, делённую на  .

Решение.

Диагональ пря­мо­уголь­ни­ка делит его на два пря­мо­уголь­ных треугольника. Катет пря­мо­уголь­но­го треугольника, ле­жа­щий напротив угла в 30°, равен по­ло­ви­не гипотенузы. По­это­му одна из сто­рон прямоугольника равна 5. По тео­ре­ме Пифагора най­дем вторую строну:   Пло­щадь прямоугольника равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сторон, имеем:

 

 

Ответ: 25.

 

3.  В пря­мо­уголь­ни­ке диагональ равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны  . Най­ди­те площадь прямоугольника, деленную на 

Решение.

Диа­го­наль прямоугольника делит его на два пря­мо­уголь­ных треугольника. Катет, ле­жа­щий напротив угла в 30°, равен по­ло­ви­не гипотенузы, по­это­му СD = 5. Пло­щадь прямоугольника равна про­из­ве­де­нию его смежных сторон:

 

 

Ответ: 25.

 

Примечание:

Вторую сто­ро­ну можно было найти из опре­де­ле­ния синуса.

 

4. 

Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 44 и одна сто­ро­на на 2 боль­ше другой.

Решение.

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сторон. Найдём сто­ро­ны прямоугольника. Пусть x — мень­шая сто­ро­на прямоугольника. Тогда пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен   от­ку­да   По­это­му пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна 

 

Ответ: 120.

5. 

Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

Решение.

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сторон. Найдём сто­ро­ны прямоугольника. Пусть x — боль­шая сто­ро­на прямоугольника, тогда дру­гая сто­ро­на равна   Следовательно, пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен

откуда   По­это­му пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна 

 

Ответ: 176.

6. 

Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 58 и одна сто­ро­на на 5 боль­ше другой.

Решение.

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сторон. Найдём сто­ро­ны прямоугольника. Пусть x — мень­шая сто­ро­на прямоугольника, тогда дру­гая сто­ро­на равна   Следовательно, пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен

откуда   По­это­му пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна 

 

Ответ: 204.

7.

В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 96, а диа­го­наль равна 100. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Решение.

Пусть a и b — длины сто­рон прямоугольника, c — длина диагонали. Рас­смот­рим прямоугольный треугольник, об­ра­зо­ван­ный диагональю и сто­ро­на­ми треугольника, из тео­ре­мы Пифагора найдём вто­рую сторону прямогуольника:

 

 

Найдём пло­щадь прямоугольника как про­из­ве­де­ние его сторон:

 

 

Ответ: 2688.

Прямоугольный треугольник

1.

В пря­мо­уголь­ном треугольнике один из ка­те­тов равен 10, а угол, ле­жа­щий напротив него, равен 45°. Най­ди­те площадь треугольника.

Решение.

Так как в пря­мо­уголь­ном треугольнике один из углов равен 45°, то такой тре­уголь­ник является равнобедренным. Пло­щадь прямоугольного тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения катетов. Таким образом:

 

 

 

Ответ: 50.

Ответ: 50

2. Задание 18 № 323159

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его катет и ги­по­те­ну­за равны со­от­вет­ствен­но 28 и 100.

Решение.

Пусть ка­те­ты имеют длины   и   а ги­по­те­ну­за — длину   Пусть длина высоты, проведённой к ги­по­те­ну­зе равна   Найдём длину не­из­вест­но­го ка­те­та из тео­ре­мы Пифагора:

 

 

Площадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка может быть най­де­на как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния ка­те­тов:

 

Ответ: 1344.

Ответ: 1344

3. Задание 18 № 323282

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 4, а ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Решение.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 45° = 45°. Оба ост­рых угла равны, следовательно, дан­ный тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да получаем, что вто­рой катет равен 4. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния катетов: 

 

Ответ: 8.

4. 

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Решение.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 45° = 45°. Оба ост­рых угла равны, следовательно, дан­ный тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да получаем, что оба ка­те­та равны. Длина ка­те­та равна   Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния катетов: 

 

Ответ: 1225.

5. 

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом:

 

 

Ответ: 18

Равнобедренный треугольник

1. 

Сторона рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна 10. Най­ди­те его площадь, делённую на  .

Решение.

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними. Так как угол рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 60° и все сто­ро­ны равны 10, имеем:

 

 

 

Ответ: 25.

 

2.  Периметр рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 30. Най­ди­те его площадь, делённую на  .

Решение.

Так как в рав­но­сто­рон­нем треугольнике все сто­ро­ны равны, то сто­ро­на данного тре­уголь­ни­ка равна 10. Угол рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 60°. Пло­щадь треугольника равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними, имеем:

 

 

Ответ: 25.

 

3.

Высота рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна 10. Най­ди­те его площадь, делённую на 

Решение.

Высота рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна   Таким образом, сто­ро­на равностороннего тре­уголь­ни­ка равна   Пло­щадь треугольника равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

 

 

Ответ: 100.

 

4. 

В рав­но­бед­рен­ном треугольнике бо­ко­вая сторона равна 10, а угол, ле­жа­щий напротив основания, равен 120°. Най­ди­те площадь треугольника, делённую на 

Решение.

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними, имеем:

 

 

Ответ: 25.

 

5. 

Периметр рав­но­бед­рен­но­го треугольника равен 16, а бо­ко­вая сторона — 5. Най­ди­те площадь треугольника.

Решение.

Так как бо­ко­вая сторона рав­но­бед­рен­но­го треугольника равна 5, его ос­но­ва­ние равно 6, а полупериметр:   по фор­му­ле Герона имеем:

 

 

Ответ: 12.

 

Приведём другое решение.

Найдя основание и боковые стороны равнобедренного треугольника, находим по теореме Пифагора высоту, она равна 4. Далее по формуле площади треугольника, находим, что она равна 12.

6.

В рав­но­бед­рен­ном треугольнике бо­ко­вая сторона равна 10, основание —  , а угол, ле­жа­щий напротив основания, равен 30°. Най­ди­те площадь треугольника.

Решение.

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними:

 

 

Ответ: 25.

 

Примечание:

Площадь тре­уголь­ни­ка можно было найти по фор­му­ле Герона.

7. 

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 34, а ос­но­ва­ние равно 60. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Решение.

Пусть   — длина ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го треугольника,   — длина бо­ко­вой сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го треугольника,   — высота, проведенная к основанию  . Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, проедённая к основанию, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и медианой. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём вы­со­ту по тео­ре­ме Пифагора:

 

 

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на высоту:

 

Ответ: 480.

8. 

Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 216, а бо­ко­вая сто­ро­на — 78. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Решение.

Периметр тре­уголь­ни­ка равен сумме длин его сторон, по­это­му длина ос­но­ва­ния равна 216 − 78 − 78 = 60. Вы­со­та   проведённая к ос­но­ва­нию равнобедренного треугольника, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и медианой, по­это­му (см. рис.) имеем:

 

 

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на высоту:

 

Ответ: 2160.

 

Примечание.

Пусть   — по­лу­пе­ри­метр треугольника,   — сто­ро­ны треугольника. Можно не на­хо­дить высоту, а найти пло­щадь по фор­му­ле Герона:

 

 

Трапеция

1. 

Най­ди­те площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Площадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию полусуммы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

 

Ответ: 168.

2. 

Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

 

 

 

Ответ: 28.

3. 

Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

 

 

 

Ответ: 36

4. 

Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна  , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB =  , а ∠ABC = 135°. Опу­стим перпендикуляр BH на сторону AD. Угол ABHравен: 135° − 90° = 45°. Таким об­ра­зом, треугольник ABH яв­ля­ет­ся прямоугольным и равнобедренным. Най­дем высоту BH:

 

 

Площадь тра­пе­ции равна произведению по­лу­сум­му оснований на высоту:

 

 

Ответ: 60.

5. 

Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен  . Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а   Опу­стим перпендикуляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем высоту BH:

 

 

Площадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме оснований на высоту:

 

 

 

Ответ: 30.

6. 

Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен  . Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а   Опу­стим перпендикуляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го тригонометрического тождества:

 

 

Най­дем высоту BH:

 

Площадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме оснований на высоту:

 

 

Ответ: 30.

7. 

Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна 6, а тан­генс угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен  . Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а   Опу­стим перпендикуляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном треугольнике тан­генс определяется как от­но­ше­ние противолежащего ка­те­та к прилежащему. Имеем:

 

Таким образом,  , где x — число.

По тео­ре­ме Пифагора ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го треугольника равна:

 

.

В пря­мо­уголь­ном треугольнике синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние противолежащего ка­те­та к гипотенузе. Имеем:

 

Найдем вы­со­ту BH:

 

Площадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме оснований на высоту:

 

Ответ: 30.

8. 

Средняя линия тра­пе­ции равна 11, а мень­шее основание равно 5. Най­ди­те большее ос­но­ва­ние трапеции.

Решение.

↓Средняя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме оснований. Имеем:

 

 

Ответ: 17.

9. 

Най­ди­те площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

По фор­му­ле площади тра­пе­ции имеем:

 

 

Ответ: 168.

10. 

Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

Решение.

Площадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по формуле

 где   и   — основания, а   — вы­со­та трапеции. Найдём вы­со­ту:   следовательно, 

 

Ответ: 15.

11. 

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Решение.

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Тогда   Тре­уголь­ник   пря­мо­уголь­ный и равнобедренный, тогда вы­со­та   равна 3. От­ку­да 

 

Ответ: 

12. 

Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Площадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле   где   и   — основания, а   — вы­со­та трапеции.

 

 

Ответ: 324.

13. 

Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Площадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле   где   и   — основания, а   — вы­со­та трапеции.

 

 

Ответ: 270.

14. 

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 5 и 17, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Решение.

Проведём вы­со­ты в тра­пе­ции и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. В четырёхугольнике     и  следовательно, он параллелограмм. Угол   значит,   — прямоугольник, от­ку­да   и   По­сколь­ку тра­пе­ция равнобедренная, углы   и   равны. Тре­уголь­ни­ки   и  прямоугольные,     следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да   Из тре­уголь­ни­ка   по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту 

 

 

Найдём пло­щадь трапеции:

Ответ: 88.

15. 

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 7 и 49, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 18 , а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен   Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Решение.

Проведём вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Пусть сто­ро­на   тогда   Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка   найдём вы­со­ту 

 

 

Найдём пло­щадь тра­пе­ции как про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Ответ: 216.

16. 

Основания тра­пе­ции равны 1 и 13, одна из бо­ко­вых сто­рон равна  , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь трапеции.

Решение.

Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. От­ре­зок   — высота. Пусть угол   равен 135°. Сумма смеж­ных углов трапеции, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не равна 180°, по­это­му ве­ли­чи­на угла   равна 180° − 135° = 45°. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  найдём вы­со­ту 

 

Площадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

Ответ: 105.

 

 

Примечание.

В данном задании открытого банка приведён некорректный рисунок. Заметим, что   в то время как полная длина   равна 13. Следовательно, трапеция выглядит как показано на рисунке справа и в таком случае более корректно было бы говорить, что нужно искать   а не   Впрочем, ответ задачи от этого не изменяется.

17. 

В тра­пе­ции ABCD AD = 5, BC = 2, а её пло­щадь равна 28. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Решение.

Проведём вы­со­ту   Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:   Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Поскольку   — сред­няя линия,   по­это­му   От­рез­ки   и   равны,   по тео­ре­ме Фа­ле­са получаем, что   Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

 

 

Ответ: 11.

18. 

В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Решение.

Пусть длина вы­со­ты тра­пе­ции равна   Пло­щадь тра­пе­ции можно найти как про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Высота тра­пе­ции также яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка   Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка   как по­лу­про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на высоту:

 

 

Ответ: 3.

19. 

Тангенс остро­го угла пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равен   Най­ди­те её боль­шее основание, если мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те и равно 58.

Решение.

Про­ведём вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

По условию: BC = CH = AH = 58.

Треугольник HCD прямоугольный, следовательно:

 

.

 

Таким образом, 

 

Ответ: 203.

20. 

Высота рав­но­бед­рен­ной трапеции, проведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 2 и 9. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

Решение.

Проведем высоту BH₂.

Так как данная трапеция равнобедренная, отрезки  .

Заметим, что  , а так как BC и H₁H₂ параллельны, а BH₂ и CH₁ перпендикулярны к BC, то BC = H₂H₁ = 7.

 

Ответ: 7.

21. 

Основания рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 4 и 14, бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те длину диа­го­на­ли трапеции.

Решение.

Про­ведём вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Отрезок H₁H₂ = BC = 4, а отрезки  , так как трапеция равнобедренная.

По теореме Пифагора найдем сторону CH₂ в треугольнике CDH₂:

 

 

Теперь, найдем AC (диагональ трапеции) из треугольника ACH₂:

 

 

Ответ: 15.

22. 

Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен  . Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 54, BC = 9, AB = 27, а   Опу­стим перпендикуляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го тригонометрического тождества:

 

 

Най­дем высоту BH:

 

Площадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме оснований на высоту:

 

 

Ответ: 378.

23. 

В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 6, BC = 2, а её пло­щадь равна 32. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Решение.

Проведём вы­со­ту   Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:   Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Поскольку   — сред­няя линия,   по­это­му   От­рез­ки   и   равны,   по тео­ре­ме Фал­ле­са получаем, что   Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

 

 

Ответ: 12.

24. 

В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 5, BC = 1, а её пло­щадь равна 51. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Решение.

Проведём вы­со­ту   Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:   Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Поскольку   — сред­няя линия,   по­это­му   От­рез­ки   и   равны,   по тео­ре­ме Фал­ле­са получаем, что   Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

 

 

Ответ: 17.

25. 

В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 8, BC = 5, а её пло­щадь равна 52. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Решение.

Проведём вы­со­ту   Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:   Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Поскольку   — сред­няя линия,   по­это­му   От­рез­ки   и   равны,   по тео­ре­ме Фал­ле­са получаем, что   Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

 

 

Ответ: 23.

26. 

В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 2, BC = 1, а её пло­щадь равна 48. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Решение.

Проведём вы­со­ту   Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:   Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

Поскольку   — сред­няя линия,   по­это­му   От­рез­ки   и   равны,   по тео­ре­ме Фал­ле­са получаем, что   Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

 

 

Ответ: 20.

27. 

В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 7, BC = 5, а её пло­щадь равна 72. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Решение.

Проведём вы­со­ту   Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:   Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Поскольку   — сред­няя линия,   по­это­му   От­рез­ки   и   равны,   по тео­ре­ме Фале­са получаем, что   Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

 

 

Ответ: 33.

28. 

Основания тра­пе­ции равны 6 и 24, одна из бо­ко­вых сторон равна 11, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен  . Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 24, BC = 6, AB = 11, а   Опу­стим перпендикуляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем высоту BH:

 

 

Площадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме оснований на высоту:

 

 

 

Ответ: 27,5.

29. 

В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 5, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Решение.

Проведём вы­со­ту   Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:   Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Поскольку   — сред­няя линия,   по­это­му   От­рез­ки   и   равны,   по тео­ре­ме Фал­ле­са получаем, что   Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

 

 

Ответ: 4.

30. 

Основания тра­пе­ции равны 7 и 63, одна из бо­ко­вых сторон равна 18, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен  . Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 63, BC = 7, AB = 18, а   Опу­стим перпендикуляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го тригонометрического тождества:

 

 

Най­дем высоту BH:

 

Площадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме оснований на высоту:

 

 

Ответ: 90.

31. 

В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 9, BC = 1, а её пло­щадь равна 70. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Решение.

Проведём вы­со­ту   Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:   Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на высоту:

 

 

Поскольку   — сред­няя линия,   по­это­му   От­рез­ки   и   равны,   по тео­ре­ме Фал­ле­са получаем, что   Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

 

 

Ответ: 21.

32.

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины  , отсекает от основания   отрезок длиной 2. Длина основания   равна 7. Найдите длину основания  .

Решение.

Проведём вто­рую вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки   и   они прямоугольные,   равно     равно   следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да   Найдём от­ре­зок     Таким образом, 

 

Ответ: 11.

Треугольники общего вида

1. 

В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, а опу­щен­ная на нее высота — 5. Най­ди­те площадь треугольника.

Решение.

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения вы­со­ты на основание. Таким образом:

 

Ответ: 25.

2. 

В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна  , а угол между ними равен 60°. Най­ди­те площадь треугольника.

Решение.

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

 

Ответ: 75.

3. 

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Решение.

Заметим, что треугольник со сторонами 24, 32 и 40 подобен египетскому треугольнику со сторонами 3, 4, 5 с коэффициентом 8. Следовательно, этот треугольник прямоугольный, а отрезок длины 24 — высота изображенного на рисунке треугольника. Тогда его площадь можно найти как по­ло­ви­ну произведения ос­но­ва­ния на высоту:

 

Ответ: 504.

4.

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 97. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Решение.

Треугольники ABC и DEC по­доб­ны по двум углам. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия k = 2. Зна­чит 

 

Ответ: 388.

5. 

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

Ответ: 198

Параллелограмм

1. 

Найдите пло­щадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение.

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию длины ос­но­ва­ния на высоту:

 

 

 

Ответ: 40.

2. 

Сторона ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те площадь ромба.

Решение.

Диагонали ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 90° и точ­кой пересечения де­лят­ся пополам. Из пря­мо­уголь­но­го треугольника, ка­те­та­ми которого яв­ля­ют­ся половины диа­го­на­лей ромба, а ги­по­те­ну­зой — сто­ро­на ромба, по тео­ре­ме Пифагора най­дем половину не­из­вест­ной диагонали:   Тогда вся не­из­вест­ная диагональ равна 8.

Площадь ромба равна по­ло­ви­не произведения диагоналей:

 

Ответ: 24.

3. 

Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Решение.

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как все сто­ро­ны равны, сто­ро­на ромба равна 10. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Таким образом,

 

Ответ: 50.

4. 

Периметр ромба равен 24, а синус од­но­го из углов равен  . Най­ди­те площадь ромба.

Решение.

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как все сто­ро­ны равны, сто­ро­на ромба равна 6. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сторон на синус угла между ними, поэтому

 

 

Ответ: 12.

5. 

Одна из сто­рон параллелограмма равна 12, а опу­щен­ная на нее вы­со­та равна 10. Най­ди­те площадь параллелограмма.

Решение.

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию высоты на основание. Таким образом,

 

Ответ: 120.

6. 

Одна из сто­рон параллелограмма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — 45°. Най­ди­те площадь параллелограмма, делённую на  .

Решение.

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сторон на синус угла между ними:

 

 

Ответ: 30.

 

7. 

Одна из сто­рон параллелограмма равна 12, дру­гая равна 5, а синус од­но­го из углов равен  . Най­ди­те площадь параллелограмма.

Решение.

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сторон на синус угла между ними, поэтому

 

Ответ: 20.

8.

Одна из сто­рон параллелограмма равна 12, дру­гая равна 5, а ко­си­нус одного из углов равен  . Най­ди­те площадь параллелограмма.

Решение.

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сторон на синус угла между ними. Cинус угла най­дем из ос­нов­но­го тригонометрического тождества:

 

 

Таким образом,

 

 

Ответ: 20.

9. 

Одна из сто­рон параллелограмма равна 12, дру­гая равна 5, а тан­генс одного из углов равен  . Най­ди­те площадь параллелограмма.

Решение.

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сторон на синус угла между ними. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном треугольнике тан­генс определяется как от­но­ше­ние противолежащего ка­те­та к прилежащему. Имеем:

 

Таким образом,  , где x — число.

По тео­ре­ме Пифагора ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го треугольника равна:

 

.

В пря­мо­уголь­ном треугольнике синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние противолежащего ка­те­та к гипотенузе. Имеем:

 

Таким образом,

 

10. 

В пря­мо­уголь­ном треугольнике один из ка­те­тов равен 10, ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 60°, а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те площадь треугольника, делённую на  .

Решение.

Най­дем второй катет тре­уголь­ни­ка из опре­де­ле­ния тангенса:

 

 

Площадь пря­мо­уголь­но­го треугольника равна по­ло­ви­не произведения катетов:

 

 

Ответ: 50.

 

Примечание:

Второй катет можно было найти при по­мо­щи теоремы Пифагора.

11. 

В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диагоналей —  , а угол, ле­жа­щий напротив этой диагонали, равен 30°. Най­ди­те площадь ромба.

Решение.

Площадь ромба равна про­из­ве­де­нию сторон на синус угла между ними:

 

 

Ответ:50.

 

Примечание:

 

Можно найти вто­рую диагональ по тео­ре­ме косинусов и вы­чис­лить площадь ромба как по­ло­ви­на произведения диагоналей.

12.

Радиус круга равен 3, а длина огра­ни­чи­ва­ю­щей его окруж­но­сти равна 6π. Най­ди­те площадь круга. В ответ за­пи­ши­те площадь, деленную на π.

Решение.

Площадь круга равна   имеем:

 

 

Ответ: 9.

13. 

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 56. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AECB.

Решение.

Диагональ па­рал­ле­ло­грам­ма делит его на два рав­ных треугольника, по­это­му   Ме­ди­а­на треугольника делит его на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му  Следовательно,

 

 

 

Ответ: 42.

14. 

Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 14 и 6.

Решение.

Площадь ромба можно найти как по­ло­ви­ну произведения его диагоналей: 

 

Ответ: 42.

15. 

Сто­ро­на ромба равна 9, а рас­сто­я­ние от цен­тра ромба до неё равно 1. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Решение.

Проведём по­стро­е­ние и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Учитывая, что   и   по­лу­ча­ем   Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся пополам. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки   и  , они прямоугольные,    следовательно, тре­уголь­ни­ки   и   равны, от­ку­да   то есть вы­со­та   Найдём пло­щадь ромба как про­из­ве­де­ние сто­ро­ны на высоту:

 

 

Ответ: 18.

16. 

Сто­ро­на ромба равна 50, а диа­го­наль равна 80. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния пополам. Пусть  Рас­смот­рим тре­уголь­ник   он прямоугольный, из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём 

 

 

Найдём пло­щадь ромба как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния его диагоналей:

 

 

Ответ: 2400.

17.

Пе­ри­метр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Решение.

Проведём вы­со­ту в ромбе и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Все сто­ро­ны ромба равны, по­это­му   Найдём  из пря­мо­уголь­но­го треугольника 

 

 

Найдём пло­щадь ромба как про­из­ве­де­ние стороны на высоту:

 

 

Ответ: 420,5.

18. 

Высота BH па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 1 и HD = 28. Диа­го­наль параллелограмма BD равна 53. Най­ди­те площадь параллелограмма.

Решение.

Из пря­мо­уголь­но­го треугольника   по тео­ре­ме Пифагора найдём 

 

 

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию основания на высоту:

 

 

Ответ: 1305.

19. 

Высота BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 5 и HD = 8. Най­ди­те площадь ромба.

Решение.

Из пря­мо­уголь­но­го треугольника   найдём 

 

 

Площадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние основания на высоту:

 

Ответ: 156.

20.

Площадь ромба равна 54, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

Решение.

Пусть сторона ромба равна a, тогда

 

Ответ: 6.

21. 

Высота   ромба   делит его сторону   на отрезки   и  . Найдите площадь ромба.

Решение.

Из пря­мо­уголь­но­го треугольника   найдём 

 

 

Площадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние основания на высоту:

 

Ответ: 980.