Подготовка к ЕГЭ. Решение задач части С по теме «Механика».

Подготовка к ЕГЭ. Решение задач части С «Механика»

ЗАДАЧА №1

Грузовой автомобиль массой М = 4 т с двумя ведущими осями тянет за нерастяжимый трос вверх по склону легковой автомобиль массой m = 1 т, у которого выключен двигатель. С каким максимальным ускорением могут двигаться автомобили, если угол наклона составляет α = arcsin 0,1, а коэффициент трения между шинами грузового автомобиля и дорогой μ = 0,2? Силой трения качения, действующей на легковой автомобиль, пренебречь. Массой колес пренебречь.

α

M

X

0

Y

₂

_тр.пок.

m

Запишем уравнение второго закона Ньютона для грузового автомобиля в проекции на ось ОХ:

F_тр.пок – Мg sinα – T = Ma, (1)

в проекции на ось ОУ:

N₂ – Мg cosα = 0, отсюда N₂ = Мg cosα.

Максимальная сила трения покоя, действующая на грузовой автомобиль (сила сцепления колес с дорогой) равна:

(F_тр.пок)_мах = μ N₂ = μМg cosα. (2)

Запишем второй закон Ньютона для легкового автомобиля в проекции на ось ОХ: Т – mg sinα = ma, отсюда Т = m(g sinα + a) (3)

Подставим формулы (2) и (3) в (1):

μМg cosα – Мg sinα – m(g sinα + a) = Ma,

и выразим ускорение автомобилей

a = (Мg(μ cosα – sinα) – mg sinα) / (M + m).

Получим численное значение ускорения a = 0,6 м/с².

Ответ: a = 0,6 м/с².

З АДАЧА №2

Найти ускорения a₁ и a₂ масс m₁ и m₂ и силу натяжения Т нити с системе, изображенной на рисунке. Массой блоков и нити и трением пренебречь.

Р ЕШЕНИЕ:

Предполагая, что ускорения тел a₁ и a₂ направлены, как показано на рисунке, введем ось координат 0Y и запишем второй закон Ньютона.

Т – m₁g = – m₁ a₁, (1)

T₁ – m₂g = m₂ a₂. (2)

Запишем второй закон Ньютона для подвижного блока:

–T₁ +2Т = 0 (массой блока можно пренебречь), следовательно:

T₁ = 2Т .

Согласно «Золотому правилу» механики, подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза, при этом получаем проигрыш в пути в 2раза. При перемещении груза m₁ на расстояние h груз m₂ переместится на расстояние h/2. Отсюда следует, что ускорение груза m₁ в два раза больше ускорения груза m₂, т.е.

a₁ = 2a₂. (3)

Из уравнения (1) выразим Т, Т= m₁ g – m₁ a₁. (4)

Из уравнения (2) выразим T₁: T₁ = m₂ g + m₂ a₂, с учетом T₁ = 2Т получим

2T = m₂ g + m₂ a₂. (5)

Подставим формулу (3) в (4): Т= m₁ g – 2m₁a₂. (6)

Подставим формулу (6) в (5) и выразим a₂:

2(m₁ g – 2m₁ a₂) = m₂ g + m₂ a₂,

a₂ = g(2m₁ – m₂) / (4m₁ + m₂).

Найдем a₁ = 2g(2m₁ – m₂) / (4m₁ + m₂). (7)

Подставим формулу (7) в (4) и выразим Т:

Т = 3g m₁ m₂ / (4m₁ + m₂).

Ответ: a₁ = 2g(2m₁ – m₂) / (4m₁ + m₂), a₂ = g(2m₁ – m₂) / (4m₁ + m₂), Т = 3g m₁ m₂ / (4m₁ + m₂).

ЗАДАЧА № 3

Мотоциклист совершил крутой поворот, двигаясь по дуге окружности радиусом 10 м со скоростью 10 м/с. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?

РЕШЕНИЕ:

К огда мотоцикл наклонен, сила реакции дороги Q направлена под углом α к поверхности дороги. Эта сила является равнодействующей двух сил – силы нормальной реакции дороги N и силы трения F_тр. Последняя всегда принимает такое значение, что сила Q проходит через центр тяжести системы тел, состоящей из мотоциклиста и мотоцикла. На систему действует, кроме силы Q, сила тяжести F_т = mg, направленная вертикально вниз.

Систему координат выберем так, чтобы ось ОХ была направлена к центру окружности, а ось OY — вертикально вверх. В проекциях на эти оси составим уравнения на основании второго закона Ньютона:

Q_x + F_тх = ma_х, Q_y + F_тy = 0

или

Q cos α = mυ² / R, Q sin α = mg.

Разделив почленно последнее уравнение на предпоследнее, получим

tg α =g R/ υ². Следовательно, угол наклона велосипедиста α = arctg (g R/ υ²).

Ответ: α = 45°.

ЗАДАЧА № 4

На горизонтальной доске длиной l = 0,5 м лежит брусок массой m (см. рис.) Коэффициент трения между бруском и доской равен μ =0,2.

Ч ерез какое время брусок соскользнет с доски, если доске сообщили ускорение а = 3 м/с², направленное вправо?

РЕШЕНИЕ:

В ыберем в качестве системы отсчета доску. Поскольку доска движется с ускорением относительно Земли, эта система отсчета является неинерциальной. Для того чтобы в ней можно было пользоваться законами Ньютона, необходимо к грузу кроме сил взаимодействия mg, N и F_тp приложить силу инерции F_ин, равную F_ин = – ma (рис.).

Применив второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси, получим:

ma_г = F_ин – F_тр = ma – F_тр,

0 = mg – N,

где a_г – ускорение груза относительно доски. Сила трения равна F_тр = μ N,

поэтому ускорение груза равно a_г = a – μmg/m = a – μg.

Время движения груза по доске равно

t = = .

Из полученного выражения следует, что при а μg груз никогда не соскользнет с доски. Груз движется по доске при выполнении условия μg .

ЗАДАЧА № 5

Н а гладкой горизонтальной плоскости находится длин­ная доска массой М = 2 кг. По доске скользит шайба массой т = 0,5 кг. Коэффициент трения между шайбой и доской μ = 0,2. В начальный момент времени скорость шайбы υ = 2 м/с, а доска покоится. Сколько времени потребуется для того, чтобы шайба перестала скользить по доске?

РЕШЕНИЕ:

Внешние силы, действующие на систему тел «доска – шайба», направлены по вертикали и в сумме равны нулю. Импульс системы тел «доска – шайба» относительно Земли сохраняется:

mυ₀ = (М + m)υ,

где υ – скорость шайбы и доски после того, как шайба перестала скользить по доске.

2. Сила трения, действующая на доску со стороны шайбы, постоянна F_тр = μmg.

Под действием этой силы доска движется с ускорением

а = μmg /М и достигает скорости υ за время

τ = υ/ а = Мυ/ μmg = Мυ₀ /μg(M + m) = 0,8(c).

Ответ: τ = 0,8с.

З АДАЧА № 6

Маленькое тело соскальзывает с нулевой начальной скоростью по внутренней поверхности полусферы с высоты, равной ее радиусу. Одна половина полусферы абсолютно гладкая, а другая - шероховатая, причем на этой половине коэффициент трения между телом и поверхностью μ = 0,15. Определить величину ускорения а тела в тот момент, когда оно перейдет на шероховатую поверхность. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².

Р ЕШЕНИЕ:

Силы, действующие на тело в момент, когда оно оказывается на шероховатой поверхности, изображены на рисунке, где F_тр - сила трения, N - нормальная к поверхно­сти полусферы составляющая силы реакции, mg - сила тяжести.

Ускорение тела а в рассматриваемый момент времени равно: = + .

Где а_τ - касательное ускорение, направлено по касательной к траектории движения тела, а_n- нор­мальное (центростремительное) ускорение тела, направлено по радиусу к центру окружности.

Согласно второму закону Ньютона: m + + m .

Запишем его в проекциях на ось ОХ: ma_τ=F_тp,сила трения равна F_тp = μN.

В проекциях на ось ОУ: ma_n = N - mg. Поскольку a_n=υ²/R, где υ - скорость тела, из последнего уравнения следует, что N = (mυ²/R)+mg.

Fтp = μm(g + υ²/R), ma_τ = μm(g + υ²/R)

При движении тела по гладкой поверхности справедлив закон сохранения энергии. В положении 1 механическая энергия тела равна потенциальной энергии, т.к. начальная скорость равна нулю. В положении 2 механическая энергия тела равна кинетической энергии, т.к. высота равна нулю. Получаем уравнение mυ²/2= mgR.Отсюда υ²=2gR.

Из a_τ= μ (g + υ²/R) получаем a_τ= 3μg, a_n=υ²/R, a_n=2g.

Находим ускорение по формуле a=(a_τ² + а_n²)^1/2

a= g(9 μ² + 4) ^½ = 20,5 м/с².

З АДАЧА № 7

К одному концу лёгкой пружины жёсткостью к = 100 Н/м прикреплён груз массой m = 1 кг, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно. Коэффициент трения груза по плоскости μ = 0,2. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину на величину d, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Найдите максимальное значение d, при котором груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата.

Р ЕШЕНИЕ:

W₁ = k d² /2. После того, как пружину отпустили, она остановится в положении, при котором она сжата на величину x. Тогда конечная энергия системы равна потенциальной энергии сжатой пружины: W₂ = k x ² /2.

Изменение полной энергии системы равно работе силы трения:

W₂ - W₁ = А_тр, А_тр = F_тр (d + x) cos 180° = – F_тр (d + x), F_тр = μN,

k (x ² – d²) = – μN(d + x), k (d² – x ²) = μN(d + x),

k (d– x) = μN. (1)

Для момента, когда груз остановился, запишем второй закон Ньютона для оси OY и OX:

N - mg = 0, N= mg (2)

F_у – F_тр = 0, k x = μN (3)

Подставим (2) в (3) и выразим x: x = μmg/ k. (4)

Подставим формулы (2) и (4) в (1):

k (d– μmg/ k) = μmg, kd /2 = μmg + μmg/ 2, kd = 3μmg, d = 3μmg/ k

Ответ: d = 6 см.

Список литературы:

1. ЕГЭ 2010. Физика: сборник экзаменационных заданий/ Авт.-сост. М.Ю.Демидова, И.И. Нурминский. – М.: Эксмо, 2010.

2. Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач. под ред. В.А. Макарова, М.В. Семенова, А.А. Якуты; ФИПИ. – М.: Интеллект-Центр, 2010.

3. Савченко Н.Е. Задачи по физике с анализом их решения. – М.: Просвещение: Учеб. лит., 1996.