Понятие производной в математике и физике

Понятие производной в математике и физике

Цели урока:

• образовательная: ввести понятие производной, основные правила ее вычисления, учить решать задачи по физике, используя производную;

• воспитательная: воспитывать умение работать в группах, вести диалог и полилог с учителем и одноклассниками, критически оценивать их деятельность и анализировать работу; повышать интерес к физике и математике как к учебным предметам; показать связь между изучаемыми предметами для понимания целостности структуры мира.

• развивающая: развивать самостоятельность мышления, учить применять имеющиеся знания в новой ситуации, анализировать, обобщать, дифференцировать и интегрировать полученный результат.

Ход урока:

1. Организационный момент

1. Эпиграфом к уроку выбраны слова ученого-химика Евгения Вагнера: “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются. Кроссворд (Слайд 4)

Какой математической операции посвящен урок, мы узнаем, если правильно ответим на вопросы кроссворда.

Вопросы кроссворда:

1. Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:
   «Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности
   заданной точки «. (касательная)

2. Раздел механики, изучающий механическое движение тел в пространстве с течением времени. (кинематика)

3. Какую переменную обычно обозначают х? (аргумент)

4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию называют... (Подсказка: график такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша без отрыва от бумаги.) (непрерывная)

5. Что является мерой изменения механической энергии? (работа)

6. Эта величина определяется как производная скорости по времени. (ускорение)

7. Если функцию f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) - некие функции, то функцию называют (сложная)

Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали читаем слово “Лагранж”

С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как производная и нахождение производной. По этому вопросу работали и другие ученые(слайд о Ньютоне, Лейбнице).

2. Актуализация знаний

2.1. Учитель физики (Ф). Демонстрация. Рассмотрим 2 процесса:

А) Из шприца капает вода.

Б) Из шприца вода вытекает струйкой.

– В чем отличие процессов? (Обсуждение с учащимися).

(В первом случае процесс дискретный, во втором непрерывный) (слайд 1)

В математике мы тоже встречались с понятием непрерывности. О чем тогда мы говорили? ( О непрерывности функции).

- Вспомним определение непрерывной функции в точке и на некотором множестве.

– А сейчас предлагаю вспомнить о различных видах движения (слайд 2). По дороге движется поезд со скоростью 60 км в час. О какой скорости идёт речь? Какова траектория этого движения?

Вспоминаем, что такое средняя скорость. Запишите формулу для средней скорости.

Можно воспользоваться графиком движения (слайд 7,8) и определить среднюю скорость на интересующем нас участке.

На слайде представлен прибор (слайд 9). Что он измеряет? Какую скорость измеряет прибор?

Вспомним, что такое мгновенная скорость (слайд 5). В точке измерить скорость нельзя. Мгновенная скорость - это средняя скорость в окрестностях данной точки. Какое расстояние от данной точки нужно взять? Очень маленькое . Или мы говорим, что нужно взять предел отношения изменения пути ко времени, если промежуток времени очень мал.

Можно это также рассмотреть на графике. Чем меньше промежуток времени, который мы берём, тем точнее определяем скорость в данной точке

Мы везде можем говорить о скорости изменения какой либо величины (мгновенной скорости).

- Процессы изменения величин удобно рассмотреть на графике. При этом вместо величины х мы можем поставить другие меняющиеся во времени величины.

(М):

- В математике мы используем более общее понятие – функция. Можно представить график в более привычной для математиков форме.

 Задача по физике: Смещение груза на пружине описывается законом х(t) = 5х²

Найдите время, если скорость равна 0.

1. Подведение итогов урока.

Выставить отметки учащимся:

Что мы узнали о применении производной в математике и физике?

Производная – это скорость роста функции.

Сила тока – производная от заряда по времени I = g' (t).

Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).

Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).

Давление – производная силы по площади P = F'(S)

Успехи в учебе? Производная роста знаний.