Понятие производной

Понятие производной

Алгебра и начала анализа

11 класс

Сегодня у нас праздник!

Сегодня у нас праздник!

Эпиграф:

• Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

А.Поуп.

• Что такое высшая математика?
• Когда она появилась?
• Что такое производная?

Как это было…

Ответим на вопрос:

• Что такое скорость?

Возможно, это было так…

• Пусть точка движется вдоль прямой по закону S(t).

Тогда за промежуток времени t точка проходит расстояние S(t).

Пусть ∆ t – малый промежуток времени. Путь, пройденный за время t+ ∆ t, равен S(t+ ∆ t ).

Тогда средняя скорость

• Очевидно, если ∆ t 0, то V ср. V мгн.

Значит,

А в это время…

• Лейбниц Готфрид Вильгельм, немецкий математик , физик, философ.

Лейбниц – прямая противоположность И.Ньютону

И еще:

• Одновременно, но независимо друг от друга они подошли к открытию анализа бесконечно малых.

Возможно, это было так…

• Началось все с касательной!!!

А что такое касательная?

Задача о касательной к графику функции

y

А

y = f(x)

М(х ,у)

∆ f(x) = f(x) - f(x 0 )

М 0 (х 0 ,у 0 )

С

∆ х =х-х 0

tg β =

β

x 0

x

x

При х →х 0

y

А

y = f(x)

М(х ,у)

∆ f(x) = f(x) - f(x 0 )

М 0 (х 0 ,у 0 )

С

∆ х =х-х 0

Предельное положение секущей при

∆ х 0

и называется касательной.

Причем,

Или

β

x 0

x

Сравните:

По секрету:

это и есть производная!

Определение:

Производной функции y= f(x) , заданной на интервале ( a, b), в точке х этого интервала называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак,

• Ньютон, а затем Лейбниц, независимо друг от друга, пришли к открытию дифференциального и интегрального исчислений.

Механический смысл производной:

• Производная пути по времени есть скорость

V(t) = S’(t)

Геометрический смысл производной:

• Тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой в точке х о, равен значению производной в этой точке.

К кас. = f’( х о )