Понятие производной

Класс: 11 класс

Тема урока:«Понятие производной»

Цель урока: создание условия для формирования навыков применения понятия производной.

Задачи урока:

обучающая: сформировать у учащихся понятие «производная», сформулировать алгоритм нахождения производной по определению, продемонстрировать его применение при решении задач;

развивающая: развивать познавательный интерес, логическое мышление, навыки самостоятельной работы и интереса к восприятию нового материала;

воспитательная: воспитывать аккуратность, внимательность, доброжелательное отношение к окружающим.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Применяемая технология:

технология личностно–ориентированного обучения; ИКТ;

Образовательный продукт:

Презентация. Электронный справочник по теме. Практикум.

Оборудование: Персональный компьютер, документ камера, проектор, учебник, методическое пособие; дополнительная литература.

Список литературы:

1) Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) [Текст]/ под ред. А.Г.Мордковича. – 10-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2009. – 399 с.

2) Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) [Текст]/ под ред. А.Г.Мордковича. – 10-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2009. – 239 с.

Ход занятия

Этап занятия

ФОУД (форма организации учебной деятельности)

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Формируемые универсальные учебные действия

Время (минуты)

I. Мотивационно-целевой этап.

1.Организационный момент

Ф

Здравствуйте, ребята. Приятно вас всех видеть, мы начинаем наш урок.

Проверка отсутствующих на уроке. Причина.

Рапорт дежурного, фиксация отсутствующих.

П: умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, знание моральных норм и умение выделить нравственный аспект поведения

К: управление поведением партнёра — контроль, коррекция, оценка его действий.

12

2.Мотивационный этап. Постановка темы, цели и задач урока

Ф

На предыдущих уроках мы ввели понятия «приращение аргумента» и «приращение функции», научились находить отношение приращения функции к приращению аргумента, а также предел этого отношения при условии, что ∆x →0.

- Как вы считаете с какими понятиями мы с вами будем работать сегодня на уроке?

Эти понятия позволят нам рассмотреть задачи, которые приведут нас к очень важному в математике понятию – понятию «производной». (Слайд 1).

Совместная постановка цели урока (Слайд 2)

Формулирование цели урока, высказывание своего мнения.

П: поиск и выделение необходимой информации. Структурирование знаний.

К: умение слушать и вступать в диалог, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Р: самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему

II. Процессуально-познавательный этап.

1.Изучение нового материала

Ф

Объяснение учителем нового материала (сопровождается презентацией).

Задача о скорости движения.

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой , т.е. каждому моменту времени соответствует определённое значение пройденного пути . Найти скорость движения тела в момент времени .

Решение: Пусть в момент времени тело находится в точке М.

Дадим аргументу приращение, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь .

Итак, за время тело прошло путь .

Что можно найти, зная эти два значения?

, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени . (Слайд 3)

Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.

В физике часто идёт речь о скорости , т.е. скорости в определённый момент времени , часто её называют мгновенной скоростью.

Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если , т.е. выбирается всё меньше и меньше, т.е. (Слайд 4)

Можно указать ещё много задач из физики, геометрии (учебник, стр.157 – 159), для решения которых необходимо отыскать скорость изменения соответствующей функции.

Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, отыскание теплоёмкости тела при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени и т.п.

Все эти задачи требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей функции.

Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства.

Этот предел называется производной функции.

Определение производной: Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: .Тогда или. (Слайд 5)

Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нём заложен алгоритм её нахождения. (Слайд 6)

С помощью этого алгоритма можно найти производную любой функции, т.е. получить таблицу производных, а также доказать правила вычисления производных, которыми в дальнейшем мы и будем пользоваться.

Осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь.

Участвовать в обсуждении проблемных вопросов, формулировать собственное мнение и аргументировать его.

П: формируем умение в создании алгоритма деятельности; формируем умение представлять информацию в виде схемы; формируем умение выявлять сущность, особенности объектов; формируем умение на основе анализа объектов делать выводы;

К: формируем умение участвовать в диалоге; формируем умение точно выражать свои мысли

Р: Предвосхищают результат и уровень усвоения

27

2.Физ.минутка

3. Закрепление пройденного материала

Ф, П, И

Первый пример учитель рассматривает совместно с учащимися с оформлением решения на доске и образцом записи в тетради. Все следующие примеры решаются учащимися либо самостоятельно с последующей проверкой, либо работой в группах (учитель – консультант), либо один учащийся выполняет работу на доске, остальные ведут запись решения в тетради.

Пример 1.

Найти производную функции y = C.

Решение: .

1.Возьмём два значения аргумента .

2.

3.

4..

Значит, или производная постоянной равна нулю.

Пример 2.

Найти производную функции .

Решение: .

1.Возьмём два значения аргумента .

2.

3.

4..

Значит, .

Пример 3.

Найти производную функции .

Решение: .

1. Возьмём два значения аргумента .

2.

3.

4. .

Значит, .

Пример 4.

Найти производную функции .

Решение: .

1. Возьмём два значения аргумента .

2.

3.

4. .

Значит, .

Пример 5.

Найти производную функции y =.

Решение: .

1.Возьмём два значения аргумента .

2.

3.

4..

Значит, .

Таким образом, с помощью определения производной, можно найти производную любой функции.

Запишем найденные производные в таблицу и в дальнейшем будем ей пользоваться. (Слайд 7)

Участвовать в работе по решению примеров

Осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь (работать в парах).

Оценивать правильность выполнения заданий.

Участвуют в обсуждении проблемных вопросов, формулируют собственное мнение и аргументировать его.

П: структурировать знания; выявлять сходства и различия объектов; строить логические цепи рассуждений; выводить следствия из имеющихся в условии задачи данных; выделять формальную структуру задачи;

выражать структуру задачи различными средствами (рисунки, символы, схемы и знаки);

самостоятельно создавать алгоритмы деятельности при решении проблем творческого и поискового характера;

К: выражать свои мысли (с достаточной полнотой и точностью) в соответствии с задачами и условиями коммуникации; адекватно использовать речевые средства для дискуссии и аргументации своей позиции; вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем;обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений;

Р: составлять план последовательности действий; вносить необходимые дополнения и коррективы в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта;

осознавать самого себя как движущую силу своего научения, к преодолению препятствий и самокоррекции;

осознавать уровень и качество усвоения результата;

проектировать маршрут преодоления затруднений в обучении через включение в новые виды деятельности;

III. Рефлексивно-оценочный этап.

1.Итог урока

Ф

На уроке мы познакомились с понятием производной. Научились находить производную функции, пользуясь алгоритмом.

Анализирует свою деятельность и деятельность одноклассников с помощью средств, предложенных учителем.

К:умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

Л: способность к самооценке

Р: умениепроговаривать последовательность действий

6

2.Информация о домашнем задание

Ф, И

Повторить § 19 (основные определения). §21 прочитать, выучить определения.

Выполнить задания:

Найти по составленному алгоритму производную функции .

Решение: f(x) = .

1.Возьмём два значения аргумента .

2.

3.

4.

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю

Значит, .

Осмысливает предложенное задание, формулирует и задает вопросы.

Р: целеполагание, контроль, оценка, коррекция.

Л: самоопределение

П: творческая переработка изученной темы.

осуществляет поиск и выделяет необходимую информацию.

3.Рефлексия

И

Организовать рефлексию учащихся по поводу их психологического состояния, мотивации собственной деятельности и взаимодействия с окружающими.

Ученикам предлагается высказать мнение по поводу урока. (Слайд 8)

Прогнозирует свои учебные задачи на следующий урок.

Р: Оценка результатов деятельности, осознание качества и уровня усвоения материала.

П: Рефлексия способов и условий деятельности, контроль и оценка процесса и результата деятельности.

К: Аргументация своего мнения, планирование учебного сотрудничества.

4. Оценка содержательного аспекта деятельности обучающихся на уроке (поощрение детей, выставление отметок за урок, и комментирование, замечания обучающимся).

Ф, И