Правильные многогранники

Начиная с 7 века до н.э. в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической геометрии к философской. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь её основателя Пифагора .

(Около 580 – около 500 г. до н. э.)

• Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, которой присваивали способность защищать человека от злых духов.

• Пентаграмма - это правильный невыпуклый многоугольник или звёздчатый пятиугольник, с применением которого строились объёмные тела - правильные многогранники

• Одно из древнейших упоминаний о правильных многоугольниках находится в трактате Платона «Тимуас».

• Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами.

(427-347 г. до н.э.)

Платон считал, будто атомы четырёх элементов, из которых строится мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников – тетраэдра, гексаэдра, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра.

Изучение многогранников на протяжении всей истории велось не только с позиций дальнейшего их применения, но и с целью осмысления философских вопросов об устройстве Вселенной и природе Пространства.

Знаменитый астроном Иоган Кеплер построил модель солнечной системы как ряд последовательных вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

«Космический кубок» Кеплера

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Тетраэдр

Правильный четырёхгранник, у которого 4 вершины, 6 рёбер, сумма плоских углов при одной вершине 180°.

Развёртка состоит из 4 равносторонних треугольников.

Гексаэдр

Правильный шестигранник,

у которого 8 вершин,

12 рёбер, сумма плоских углов при одной вершине 270°.

Развёртка состоит из 6 квадратов.

Октаэдр

Правильный восьмигранник,

у которого 6 вершин, 12 рёбер, сумма плоских углов при одной вершине 240°.

Развёртка состоит из 8 равносторонних треугольников.

Додекаэдр

Правильный двенадцатигранник,

у которого 20 вершин, 30 рёбер, сумма плоских углов при одной вершине 324°.

Развёртка состоит из 12 правильных пятиугольников.

Икосаэдр

Правильный двадцатигранник,

у которого 12 вершин, 30 рёбер, сумма плоских углов при одной вершине 300°.

Развёртка состоит из 20 равносторонних треугольников.

Формула Эйлера

Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников, у которых сумма числа вершин и числа граней на 2 больше числа рёбер.

В + Г – Р = 2

Многогранник

Число граней

тетраэдр

Число вершин

октаэдр

4

Число ребер

икосаэдр

4

8

6

20

додекаэдр

6

12

12

куб

12

20

6

30

8

30

12

Элементы симметрии правильных многогранников

• Правильный тетраэдр имеет 3 оси

симметрии и 6 плоскостей симметрии.

• Куб имеет 1 центр симметрии – точку

пересечения его диагоналей, 9 осей

симметрии и 9 плоскостей симметрии.

• Правильные октаэдр, икосаэдр и

додекаэдр имеют 1 центр симметрии и

несколько осей и плоскостей

симметрии.

Правильные многогранники в искусстве

• В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники.

Правильные многогранники в искусстве

• Леонардо да  Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции».

(1452 г. -1519 г.)

Правильные многогранники в искусстве

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471г. - 1528 г.) , в известной гравюре

«Меланхолия»

на переднем плане изобразил додекаэдр.

Правильные многогранники в искусстве

На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» изображён Христос со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Правильные многогранники в искусстве

На гравюре голландского художника Морица Корнилиса Эшера «Четыре тела» изображено пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, которые выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Правильные многогранники в искусстве

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной является гравюра «Звезды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением кубов, тетраэдров и октаэдров.

Правильные многогранники в искусстве

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

Правильные многогранники привлекают симметричностью и совершенством своих форм. Это дало возможность венгерскому инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика», а затем аналогичные головоломки из других платоновых тел.