Правила логических умозаключений

с) Если идет дождь, то на небе есть тучи. На небе есть тучи, следовательно, идет дождь.          

Умозаключения могут быть правильными и неправильными.

Умозаключение называется правильным, если формула, соответствующая его структуре и представляющая собой конъюнкцию посылок, соединенная с заключением знаком импликации тождественно истинна.

Для того чтобы установить, является ли умозаключение правильным, поступают следующим образом:

1)    формализуют все посылки и заключение;

2)    записывают формулу, представляющую конъюнкцию посылок, соединенную знаком импликации с заключением;

3)    составляют таблицу истинности для данной формулы;

4)    если формула тождественно-истинна, то умозаключение правильное, если нет – то умозаключение неправильное.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных рассуждений.

Правил много, но наиболее часто используются следующие:

1.    – правило заключения;

  2.    – правило отрицания;

   3.   – правило силлогизма.

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится  на 15. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение «если А(х), то В(х)», где А(х) – это «запись числа х оканчивается цифрой 5», а В(х) – «число х делится на 5». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей посылки при
х = 135 (т.е. А(135)). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. В(135)).

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5».

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5» (т.е. ). Заключение – это отрицание предложения «Запись числа 177 оканчивается цифрой 5» (т.е. ).

И наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма: «Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3».

В этом умозаключении две посылки: «если А(х), то В(х)» и «если В(х), то С(х)», где А(х) – «число х кратно 12», В(х) – «число х кратно 6» и С(х) – «число х кратно 3». Заключение представляет собой высказывание «если А(х), то С(х)».

Проверим, правильны ли следующие умозаключения:

1) Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. АВСD – ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Если число делится на 4, то оно делится на 2. Число 22 делится   на 2. Следовательно, оно делится на 4.

3) Все деревья являются растениями. Сосна – дерево. Значит, сосна – растение.

4) Все учащиеся данного класса ходили в театр. Петя не был в театре. Следовательно, Петя – учащийся не данного класса.

5) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Решение: 1) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его логическую форму. Введем обозначения: С(х)– «четырехугольник х – ромб», В(х) – «в четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда первую посылку можно записать в виде: 
С(х) В(х), вторую – С(а), а заключение В(а).

Таким образом, форма данного умозаключения такова: . Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное рассуждение правильное.

2) Введем обозначения: А(х) – «число х делится на 4», В(х) – «число х делится на 2». Тогда первую посылку запишем: А(х) В(х),   вторую В(а), а заключение – А(а).  Умозаключение примет форму:   .

Такой логической формы среди известных нет. Легко заметить, что обе посылки истинны, а заключение ложно.

Значит, что данное рассуждение неправильное.

3) Введем обозначения. Пусть А(х) – «если х дерево», В(х) – «х растение». Тогда посылки примут вид: А(х)В(х), А(а), а заключение В(а). Наше умозаключение построено по форме:  – правила заключения.  

Значит, наше рассуждение построено верно.

4) Пусть А(х) – «х – учащиеся нашего класса», В(х) – «учащиеся х ходили в театр». Тогда посылки будут следующими: А(х)В(х), , а заключение .

Данное умозаключение построено по правилу  отрицания:

    – значит оно верное.

5) Выявим логическую форму умозаключения. Пусть А(х) – «числитель дроби  х меньше знаменателя». В(х) – «дробь х – правильная». С(х) – «дробь х меньше 1». Тогда посылки примут вид: А(х)В(х), В(х) С(х), а заключение А(х) С(х).

Наше умозаключение будет следующей логической формы:  – правило силлогизма.

Значит, данное  умозаключение верно.

Дедуктивные умозаключения.

Как и многое в классической логике, теория дедукции обязана своим появлением древнегреческому философу Аристотелю. Он разработал большую часть вопросов, связанных с этим видом умозаключений.

Согласно работам Аристотеля дедукция – это переход в процессе умозаключения от общего к частному. Другими словами, дедукцией является постепенная конкретизация более абстрактного понятия. Она проходит через несколько ступеней, каждый раз выводя следствие из нескольких посылок.

Необходимо сказать, что в процессе дедуктивного умозаключения должно получаться истинное знание. Такой цели можно добиться только при соблюдении необходимых условий, правил. Правила вывода бывают двух видов: правила прямого и правила косвенного вывода. Прямой вывод означает получение из двух посылок заключения, которое будет истинным при условии соблюдения правил прямого вывода.

Так, должны быть истинны посылки и соблюдены правила получения следствий. При соблюдении этих правил можно говорить о правильности мышления относительно взятого предмета. Это означает, что для получения истинного суждения, нового знания не обязательно иметь всю информацию. Часть сведений может быть воссоздана логическим путем и закреплена. Закрепление необходимо, так как без него сам процесс получения новой информации становится бессмысленным. Ни передать такую информацию, ни как-либо иначе использовать ее не представляется возможным. Естественно, что такое закрепление происходит посредством языка (разговорный, письменный, язык программирования и т. д.). Закрепление в логике происходит прежде всего при помощи символов. Например, это могут быть символы конъюнкции, дизъюнкции, импликации, буквенные выражения, скобки и др.

Дедуктивными являются следующие типы умозаключений: выводы логических связей и субъектно-предикатные выводы.

Также дедуктивные умозаключения бывают непосредственными.

Они делаются из одной посылки и называются превращением, обращением и противопоставлением предикату, отдельно рассматриваются умозаключения по логическому квадрату. Выводятся такие умозаключения из категорических суждений.

Рассмотрим эти умозаключения. Превращение имеет схему:

S есть Р

S не есть не-Р.

По этой схеме видно, что посылка только одна. Это категорическое суждение. Превращение характеризуется тем, что при изменении качества посылки в процессе вывода не происходит изменения ее количества, а предикат следствия отрицает предикат посылки. Есть два способа превращения – двойное отрицание и замена отрицания в предикате отрицанием в связке. Первый случай отражен на схеме, приведенной выше. Во втором превращение отражается на схеме как S есть не-Р – S не есть Р.

В зависимости от типа суждения превращение можно выразить следующим образом.

Все S есть Р – Ни одно S не есть не-Р. Ни одно S не есть Р – Все S есть не-Р. Некоторые S есть Р – Некоторые S не есть не-Р. Некоторые S не есть Р – Некоторые S есть не-Р. Обращение – это умозаключение, в котором при перемене мест субъекта и предиката качество посылки не меняется.

То есть в процессе вывода субъект встает на место предиката, а предикат – на место субъекта. Соответственно, схему обращения можно изобразить как S есть Р – Р есть S.

Обращение бывает с ограничением и без ограничения (его еще называют простое или чистое). Это разделение основывается на количественном показателе суждения (имеется в виду равенство или неравенство объемов S и Р). Это выражается в том, изменилось ли кванторное слово или нет и распределены ли субъект и предикат. Если такое изменение происходит, то имеет место обращение с ограничением. В обратном случае можно говорить о чистом обращении. Напомним, что кванторное слово – это слово – показатель количества. Так, слова «все», «некоторые», «ни один» и другие являются кванторными словами.

Противопоставление предикату характеризуется тем, что связка в следствии меняется на противоположную, субъект противоречит предикату посылки, а предикат эквивалентен субъекту посылки.

Необходимо сказать, что непосредственное умозаключение с противопоставлением предикату невозможно вывести из частноутвердительных суждений.

Приведем схемы противопоставления в зависимости от типов суждений.

Некоторые S не есть Р – Некоторые не-Р есть S. Ни одно S не есть Р – Некоторые не-Р есть S. Все S есть Р – Ни одно Р не есть S.

Объединяя сказанное, можно рассматривать противопоставление предикату как продукт сразу двух непосредственных умозаключений. Первым из них производится превращение. Его результат подвергается обращению.

Условные и разделительные умозаключения.

Говоря о дедуктивных умозаключениях, нельзя не обратить внимания на условные и разделительные умозаключения.

Условные умозаключения называются так потому, что в качестве посылок в них используются условные суждения (если а, то b). Условные умозаключения можно отразить в виде следующей схемы.

Если а, то b. Если b, то с. Если а, то с.

Выше указана схема умозаключений, являющихся видом условных. Для таких умозаключений характерно, что все их посылки являются условными.

Другим видом условных умозаключений являются условно-категорические суждения. Соответственно названию в этом умозаключении не обе посылки являются условными суждениями, одна из них – простое категорическое суждение.

Необходимо также упомянуть о модусах – разновидностях умозаключений. Существуют: утверждающий модус, отрицающий модус и два вероятностных модуса (первый и второй).

Утверждающий модус имеет самое широкое распространение в мышлении. Это связано с тем, что он дает достоверное заключение. Поэтому правила различных учебных дисциплин строятся в основном на основе утверждающего модуса. Можно отобразить утверждающий модус в виде схемы.

Если а, то b.

а.

b.

Приведем пример утверждающего модуса.

Если топор упадет в воду, он утонет.

Топор упал в воду.

Он утонет.

Два истинных суждения, которые являются посылками этого суждения, преобразуются в процессе вывода в истинное суждение. Отрицающий модус выражается по следующей схеме. Если а, то b. Не-b. Не-а.

Это суждение строится на основе отрицания следствия и отрицания основания.

Умозаключения могут давать не только истинные, но и неопределенные суждения (неизвестно, истинны они или ложны).

В связи с этим следует сказать о вероятностных модусах.

Первый вероятностный модус на схеме отображается следующим образом.

Если а, то b.

b.

Вероятно, а.

Как ясно из названия, следствие, выводимое из посылок при помощи этого модуса, является вероятным.

Если дует сильный ветер, то яхту кренит набок.

Яхту кренит набок.

Вероятно, дует сильный ветер.

Как мы видим, от утверждения следствия к утверждению основания невозможно вывести истинное умозаключение.

Второй вероятностный модус в виде схемы можно изобразить так.

Если а, то b. Не-а.

Вероятно, не-b. Приведем пример.

Если человек лежит под солнцем, он загорит.

Этот человек не лежит под солнцем.

Он не загорит.

Как видно из приведенного примера, производя умозаключение от отрицания основания к отрицанию следствия, мы получим не истинное, а вероятностное следствие.

Формулы утверждающего и отрицающего модусов являются законами логики, в то время как формулы вероятностных – не являются.

Разделительные умозаключения делятся на простые разделительные и разделительно-категорические умозаключения. В первом случае разделительными являются все посылки. Соответственно, разделительно-категорические суждения имеют в качестве одной из посылок простое категорическое суждение.

Таким образом, разделительным считается умозаключение, все или часть посылок которого являются разделительными суждениями. Структура простого разделительного умозаключения отражается следующим образом.

S есть А или В, или С.

А есть А1 или А2.

S есть А1 или А2, или В, или С.

Примером такого умозаключения является следующее.

Путь бывает прямым или окружным.

Окружный путь бывает с одной пересадкой или с несколькими пересадками.

Путь бывает прямым или с одной пересадкой, или с несколькими пересадками.

Разделительно-категорические умозаключения можно представить в виде схемы.

S есть А или В. S есть А (В). S не есть В (А). Например:

Выстрел бывает точным и неточным. Этот выстрел является точным. Этот выстрел не является неточным.

Здесь необходимо упомянуть об условно-разделительных умозаключениях. От указанных выше умозаключений они отличаются посылками. Одна из них – это разделительное суждение, что не является особенным, однако вторая посылка таких суждений состоит из двух или нескольких условных суждений.

Условно-разделительное суждение может быть или дилеммой, или трилеммой. В дилемме условная посылка состоит из двух членов. При этом разделительная подразумевает наличие выбора. Другими словами, дилемма – это выбор одного из двух вариантов.

Дилемма бывает простой конструктивной и сложной конструктивной, а также простой и сложной деструктивной. Первая имеет две посылки, одна из которых утверждает одинаковый исход двух предложенных ситуаций, другая говорит о том, что возможна одна из этих ситуаций. Следствие резюмирует утверждение первой посылки (условного суждения).

Если нажать на карандаш, он сломается; если согнуть карандаш, он сломается.

Можно нажать на карандаш или согнуть карандаш.

Карандаш сломается.

Сложная конструктивная дилемма предполагает более тяжелый выбор между альтернативами.

Трилемма состоит из двух посылок и следствия и предлагает выбор из трех вариантов или констатирует три факта.

Если спортсмен вовремя нанесет удар, то он победит; если спортсмен правильно распределит силы, то он победит; если спортсмен выполнит прыжок чисто, то он победит.

Спортсмен вовремя нанесет удар или правильно распределит силы на дистанции, или выполнит прыжок чисто.

Спортсмен победит.

Бывают случаи, когда в условных, разделительных или условно-разделительных умозаключениях пропускаются заключение или одна из посылок. Такие умозаключения называют сокращенными.

Понятие силлогизма. Простой категорический силлогизм

Слово «силлогизм» произошло от греческого syllogysmos, что означает «вывод». Очевидно, что силлогизм – это выведение следствия, заключения из определенных посылок. Силлогизм бывает простым, сложным, сокращенным и сложносокращенным.Силлогизм, посылками в котором являются категорические суждения, называется, соответственно, категорическим. Посылок в силлогизме две. Они содержат три термина силлогизма, обозначаемые буквами S, P и М. Р – это больший термин, S – меньший, а М – средний, связующий. Другими словами, термин Р шире по объему (хотя уже по содержанию) как М, так и S. Самый узкий по объему термин силлогизма – это S. При этом больший термин содержит предикат суждения, меньший – его субъект. S и Р связаны между собой средним понятием (М).

Пример категорического силлогизма.

Все боксеры – спортсмены.

Этот человек – боксер.

Этот человек – спортсмен.

Слово «боксер» здесь является средним термином, первая посылка – больший термин, вторая – меньший. Во избежание ошибок заметим, что в данном силлогизме имеется в виду данный, конкретный человек, а не все люди. В противном случае, конечно, вторая посылка была бы намного шире по объему.

Категорический силлогизм имеет четыре формы в зависимости от положения в его структуре среднего термина.

В первом случае большая посылка должна быть общей, а меньшая – утвердительной. Вторая форма категорического силлогизма дает отрицательное заключение, и одна из его посылок также отрицательна. Большее понятие, как и в первом случае, должно быть общим. Заключение третьей формы должно быть частным, меньшая посылка – утвердительной. Четвертая форма категорических силлогизмов наиболее интересна. Из таких умозаключений нельзя вывести общеутвердительное заключение, а между посылками существует закономерная связь. Так, если одна из посылок отрицательная, большая должна быть общей, при этом меньшая должна быть общей, если большая – утвердительна.

Для того чтобы избежать возможных ошибок, при построении категорических силлогизмов следует руководствоваться правилами терминов и посылок. Правила терминов следующие.

Распределенность среднего термина (М). Означает, что средний термин, связующее звено, должен быть распределен хотя бы в одном из двух других терминов – большем или меньшем. При нарушении данного правила заключение получается ложным.

Отсутствие лишних терминов силлогизма. Означает, что категорический силлогизм должен содержать только три члена – термины S, M и Р. Каждый термин должен рассматриваться только в одном значении.

Распределенность в заключении. Для того чтобы быть распределенным в заключении, термин должен быть распределен и в посылках силлогизма.

Правила посылок.

1. Невозможность вывода из частных посылок. То есть, если обе посылки являются частными суждениями, из них невозможно сделать вывод. Например:

Некоторые машины – пикапы.

Некоторые механизмы – машины.

Из этих посылок нельзя сделать заключение.

2. Невозможность вывода из отрицательных посылок. Отрицательные посылки не дают возможности сделать вывод. Например:

Люди не птицы.

Собаки не люди.

Вывод невозможен.

3. Следующее правило гласит, что если одна из посылок силлогизма частная, то и его следствие тоже будет частным. Например:

Все боксеры – спортсмены.

Некоторые люди – боксеры.

Некоторые люди – спортсмены.

4. Существует еще одно правило, которое говорит о том, что, если только одна из посылок силлогизма является отрицательной, вывод возможен, однако также будет отрицательным. Например:

Все пылесосы – бытовая техника.

Эта техника не является бытовой.

Эта техника не пылесос.

Задания

Задание 7. Сделайте вывод (если это возможно) путем превращения:
7.1. Некоторые приговоры суда не являются обвинительными 7.2. Все дороги ведут в Рим 7.3. Шила в мешке не утаить

Решение:
7.1. Некоторые приговоры суда (S) не являются обвинительными (P) Имеем дело с частноотрицательным суждением

Схема: Некоторые S не есть Р.
Схема превращения: Некоторые S есть не-Р
Некоторые приговоры (S) есть не обвинительными (не-Р)

7.2. Все дороги(S) ведут в Рим (Р)
Имеем дело с общеутвердительным суждением
Схема : Все S есть Р Схема превращения: Ни одно S не есть не-P
Ни одна дорога не является ведущей не в город Рим

7.3. Шила в мешке не утаить
Запишем суждение так: Ни одно шило в мешке не утаить
Имеем дело с общеотрицательным суждением.
Схема: Ни одно S не есть Р
Схема превращения: Все S суть не-P.
Любое шило можно в мешке утаить

Задание 8. Сделайте вывод (если это возможно) путем обращения:
8.1. Лица, занимающиеся контрабандой, привлекаются к уголовной ответственности
8.2. Некоторые преподаватели вузов не являются юристами
8.3. не всякий генерал от природы полный (Козьма Прутков)

Решение:
8.1. Лица, занимающиеся контрабандой(S), привлекаются к уголовной ответственности (P)
Схема: Все S есть Р (общеутвердительное суждение)
Схема обращения: Некоторые Р есть S.
Некоторые, привлекаемые к уголовной ответственности,(P) являются лицами, занимающимися контрабандой (S)

8.2. Некоторые преподаватели вузов (S) не являются юристами (P)
Схема: Некоторые S не есть Р (частноотрицательное суждение)
Обращения для частноотрицательного суждения нет.

8.3. не всякий генерал(S) от природы полный (Р) (Козьма Прутков)
Схема: Некоторые S есть Р (частноутвердительное суждение)
Схема обращения: Все Р есть S. Все от природы полные(Р) являются генералами(S)

Задание 9. Сделайте вывод (если это возможно) путем противопоставления предикату: 9.1. Все следователи - юристы 9.2. Некоторые птицы - перелетные 

Решение: 9.1. Все следователи(S) - юристы (P) 
Схема: Все S есть Р (общеутвердительное суждение)
Схема противопоставления предикату: Ни одно не – Р не есть S.
Ни один не юрист(не-Р) не является следователем(S) 

9.2. Некоторые птицы(S) - перелетные (P) 
Схема: Некоторые S есть Р (частноутвердительное суждение) 
Для частноутвердительного суждения нельзя сделать противопоставление предикату. 

Дополнительные вопросы:
1.    Чем умозаключение как форма мышления отличается от суждения? Чем умозаключение отличается от понятия? Что объединяет все три формы? Какова роль умозаключений в познании мира?

О: Умозаключение является более сложной формой мышления, в отличии от суждения. В состав умозаключения входит суждение, значит и понятия. Но умозаключение нельзя свести к понятию, оно показывает их определенную связь. Так, именно в умозаключениях кроется «тайна» принудительной силы речей. Именно с постижения этих тайн, зарождалась наука логика. За счет многообразных видов умозаключений, люди имеют новые знания в нашей жизни и научных теориях, без умозаключений процесс мышления был бы невозможен. 
«Умозаключение – это форма мышления, посредством которой осуществляется переход от известного (имеющегося) знания  к новому знанию. В структуре умозаключения часто выделяется: 
1.посылки – это исходное знание, которое и есть основание для умозаключения.
2.заключение – производное, то есть новое знание, которое получается из посылок.
3.Логическая связь  между посылками и заключением, которая выражает отношение между ними.
Умозаключения весьма распространенная форма, используемая в научном и повседневном мышлении. Роль умозаключений в познании мира этим и определяется. Значение умозаключений - не только связывать, наши знания в более или менее сложные знания и в относительно законченные комплексы – мыслительные конструкции. А также  обогащать и  усиливать эти знания.


3.    Решите практические задания:
a.    Укажите, в каких отношениях находятся следующие пары понятий: «город» и «деревня», «небесное тело» и «звезда». Используя круги Эйлера, изобразите взаимное положение объемов указанных пар понятий.
О: обозначим данные понятия: Г – город, Д – деревня, Н – небесное тело, З – звезда. 
изобразив данные понятия, с помощью кругов Эйлера, получим:
 
b.    Дайте логическую характеристику понятию «ненависть».
О: понятие «ненависть» является общим, абстрактным, отрицательным, безотносительным.

c.    Совершите операции ограничения и обобщения объемов следующих понятий: «знаменитый артист», «ураган», «сборная России».
О: 
операция обобщения:
«Знаменитый артист» - « Знаменитый человек» - « Человек «
«Ураган» - «Атмосферный вихрь, больших размеров» - « Атмосферный вихрь» 
«сборная России» - «сборная страны Восточной Европы» - « сборная страны»

операция ограничения:
«Знаменитый артист» - « Знаменитый Шаляпин» - « Знаменитый Федор Иванович Шаляпин»
«Ураган» - «Ураган, затронувший Ямайку» - «Ураган Сэнди» 
«сборная России» - « женская сборная России» - «женская сборная России по легкой атлетике»

d.    Дайте пример генетического определения.
О: Круг - это кривая, образуемая движением на плоскости точки, которая сохраняет равное расстояние от центра"

e.    Приведите пример суждения вида А, в котором субъект распределен, а предикат – нераспределен.
О: 
суждение вида А – общеутвердительное суждение
схема : Все S+ есть Р-
пример:  Все студенты любят закрывать сессию
субъект  S -  «студенты» распределен
предикат Р – «любящие закрывать сессию» не распределен

4.    Выполните практические задания:
a.    Какое правило определения понятий нарушено: «Количество – это характеристика предмета с его количественной стороны»?
О:
нарушено правило определения : определение содержит тавтологию.(понятие количество раскрывается через количественную сторону), т.е. «масло масленое» - та же самая тавтология.

b.    Преобразуйте следующее суждение путем превращения, обращения и противопоставления предикату: «Все автомобили являются средствами передвижения».
О: 
(А):Все автомобили являются средствами передвижения
схема: Все S  есть Р

Общая схема превращения:
A   Все S суть P……………………E   ни одно S не есть  не-P
Общая схема обращения:
A   Все S суть P……………………I   некоторые Р  есть  S
Общая схема противопоставления предикату:
A   Все S суть P…………………… ни одно не-P не есть S

превращение: Ни один автомобиль не является не средством передвижения
обращение: Некоторые средства передвижения являются автомобилями
противопоставление предикату: Ни одно не средство передвижения не является автомобилем

c.    Установите с помощью логического квадрата, в каком отношении находятся суждения «Ни одно существо не бессмертно» и «Некоторые существа бессмертны».
О:
(Е): Ни одно существо не бессмертно
(I): Некоторые существа бессмертны
рассмотрим логический квадрат
 
видно, что данные суждения находятся в отношении противоречия.

8