Предел последовательности

Предел последовательности.

10 класс

Последовательность

Определение 1.

Функцию вида у= f (х) , х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f (n) или у 1 , у 2 , у 3 ,…, у n ,…, или (у n ).

(а n ) – последовательность

а 1 ; а 2 ; а 3 ;…. а n - члены последовательности Первый n-ый

член послед. член послед.

Способы задания числовой последовательности

• Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .

Пример 2. Произвольный набор чисел:

1,4,12,25,26,33,39,… .

Пример 3. Последовательность четных чисел: 2,4,6,8,10,12,14,16,… .

Способы задания числовой последовательности

2. Аналитический способ.

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n.

Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел:

у = n².

Пример 3. Стационарная последовательность: у = С

С, С, С, С,…,С,…

Пример 4. Последовательность у = n² - 3n

– 2, -2,0,4,10,…

Пример 5. Последовательность у = 2ⁿ

2, 2²,2³,…,2ⁿ,…

Способы задания числовой последовательности

3. Рекуррентный способ.

Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент.

Пример 1. a 1 = 3 a n+1 =

a 1 =3 a 3 = 9 2 = 81

a 2 = 3 2 = 9 a 4 = 81 2 = 6561

Пример 2. Арифметическая прогрессия а n+1 = а n +d,

d - разность арифметической прогрессии.

Пример 3. Геометрическая прогрессия b n+1 = b n q,

q – знаменатель геометрической прогрессии.

Примеры последовательностей .

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6…

Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7

Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…

Ответ: Перемножаются две цифры, входящие

в предыдущее число

Числа Фибоначчи.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Леонардо Фибоначчи - итальянский математик.

(родился около 1170 — умер после 1228),

Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

Определение 2.

Последовательность (у n ), называют ограниченной сверху , если все ее члены не больше некоторого числа.

Последовательность (у n ) ограничена сверху , если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≤ М . Число М называют верхней границей последовательности .

Например : -1, -4, -9, -16,…, - n² ,…

Верхняя граница - -1

Определение 3.

Последовательность (у n ), называют

ограниченной снизу , если все ее члены не меньше некоторого числа.

Последовательность (у n ) ограничена снизу , если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≥ m . Число m называют верхней границей последовательности .

Например : 1, 4, 9, 16,…,n²,…

Нижняя граница - 1

Определение 4.

Последовательность (у n ) называют

возрастающей , если каждый ее член больше предыдущего:

…

Например, 1,3,5,7,…2n-1, …- возрастающая последовательность

Определение 5.

Последовательность (у n ) называют

убывающей , если каждый ее член меньше предыдущего:

…

Например, 1, , , ,…, возрастающая последовательность

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности

Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью .

Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.

Члены последовательности (у n ) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (у n ) сходится .

У последовательности (у n ) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (у n ) расходится .

Определение 6.

Число b называют пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Читают : предел последовательности (у n ) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (у n ) равен b.

1, то последовательность у n = qⁿ расходится. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности lim C = C " width="640"

Понятие предела числовой последовательности геометрически

«окрестность»:

интервал ( а – r; а + r ) называется окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности

.

Если |q| 1, то последовательность у n = qⁿ расходится.

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности

lim C = C

Свойства сходящихся последовательностей .

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

( теорема Вейерштрасса).

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ».

• Теорема

Если lim x n = b , lim y n = c , то

предел суммы равен сумме пределов:

lim ( x n + y n ) = b + c ;

предел произведения равен произведению

пределов: lim ( x n y n ) = bc ;

предел частного равен частному пределов:

lim = , c ≠ 0 ;

постоянный множитель можно вынести

за знак предела: lim ( kx n ) = kc .

Внимание!

Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.