Предел последовательности

Предел последовательности.

Урок 1.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :

А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и

профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В.

Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред.

А. Б. Жижченко. —

2-е изд. —

М. : Просвещение,

2010.— 336 с.

Цели урока: 

• ввести понятие предела последовательности;

• рассмотреть свойства сходящихся последовательностей.

Числовые последовательности

• Кратко последовательность обозначают символом {Хn} или (Хn), при этом Хn называют членом или элементом этой последовательности, n —номером члена Хn.
• Числовая последовательность —это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел. Множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел Хn, n N, называют множеством значений последовательности. Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным.

Множество значений последовательности

{(-1)"} состоит из двух чисел 1 и -1,

а множества значений последовательностей

{n ²} и { } — бесконечны.

Последовательность, у которой существует предел,

называют сходящейся . Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся ; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не

является ее пределом.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим две числовые последовательности:

: 2, 4, 6, 8, 10, …, ,…;

: 1, , , , , … , …

Изобразим члены этих последовательностей

точками на координатных прямых.

Обратите внимание как ведут себя члены

последовательности.

Замечаем, что члены последовательности как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности таковой точки не наблюдается.

Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет.

Определение 1. Пусть a - точка прямой, а r -

положительное число. Интервал (a-r, a+r)

называют окрестностью точки a , а число r - радиусом окрестности .

Геометрически это выглядит так:

Например:

(-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3.

Теперь можно перейти к определению точки

«сгущения», которую математики назвали

« пределом последовательности ».

Определение 2 . Число

называют пределом

, если в любой заранее

последовательности

выбранной окрестности точки

содержатся

все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут: .

стремится к .

Читают:

Либо пишут: .

Читают: предел последовательности при

стремлении к бесконечности равен .

Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

• Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся .
• Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся ; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Теорема 1

Если последовательность {X n} является возрастающей(или неубывающей) и ограничена сверху, т. е. X n≤M

для всех n, то она имеет предел.

Теорема 2

Если последовательность {X n} является убывающей (или невозрастающей) и ограничена снизу, т. е. X n≥M для

всех n, то она имеет предел.

Пример:

Существует ли номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса , если

1.

Решение.

 N    выполняется неравенство |  a n  – a  |       Условие того, что число    a    является пределом  числовой последовательности a 1  ,   a 2  , …  a n  , … , записывают  с помощью обозначения и  произносят  так: «Предел     a n    при    n ,    стремящемся к бесконечности, равен    a  ». " width="640"

Определение: Число    a    называют  пределом числовой последовательности

a 1  ,   a 2  , …  a n  , …

если для любого положительного числа    ε    найдется такое натуральное число    N ,    что при всех   n  N    выполняется неравенство

|  a n  – a  |

      Условие того, что число    a    является пределом  числовой последовательности

a 1  ,   a 2  , …  a n  , … ,

записывают  с помощью обозначения

и  произносят  так: «Предел     a n    при    n ,    стремящемся к бесконечности, равен    a  ».

0    справедливо равенство: Пример 2  . Для любого числа    k   0    справедливо равенство: Пример 3 . Для любого числа    a    такого, что    |  a  | равенство: Пример 4 . Для любого числа    a    такого, что    |  a  | 1,    справедливо равенство: Пример 5  . Последовательность: – 1 , 1 , – 1 , 1 , … , заданная с помощью формулы общего члена a n  = (– 1) n  , предела не имеет. " width="640"

Предел числовой последовательности

Пример 1 . Для любого числа    k   0    справедливо равенство:

Пример 2  . Для любого числа    k   0    справедливо равенство:

Пример 3 . Для любого числа    a    такого, что    |  a  |

равенство:

Пример 4 . Для любого числа    a    такого, что    |  a  | 1,    справедливо равенство:

Пример 5  . Последовательность:

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

a n  = (– 1) n  ,

предела не имеет.

На уроке:

• № 1(1,3),
• № 4(1)

Домашнее задание.

• §1стр. 44
• № 1(2,4)
• № 2(2,4,6)
• № 4(2)

Предел последовательности.

Урок 2.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :

А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и

профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В.

Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред.

А. Б. Жижченко. —

2-е изд. —

М. : Просвещение,

2010.— 336 с.

Цель урока.

• Рассмотреть свойства пределов числовых последовательностей;

• Сформировать умения вычисления пределов.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

a 1  ,   a 2  , …  a n  , … ,    и    b 1  ,   b 2  , …  b n  , … .

Если при    существуют такие числа    a    и    b  ,  что

   и    ,

то при    существуют также и  пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей,  причем                      

Если, выполнено условие,

то при    существует  предел дроби

Пример 6 . Найти предел последовательности

Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней :

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя  cвойства пределов последовательностей  и результат  примера 3 , получаем

Ответ .

Пример 7  . Найти предел последовательности

Решение . Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя  cвойства пределов последовательностей  и результат  примера 1 , получаем

Ответ .

Пример 8  . Найти предел последовательности

:

  Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя  cвойства пределов последовательностей  и результат  примера 1 , получаем

       Ответ . 

Пример 9 . Найти предел последовательности

.

Решение . В рассматриваемом примере неопределенность типа  возникает за счет разности двух корней, каждый из которых  стремится к   . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов» .

  Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя  cвойства пределов последовательностей  и результат  примера 1 , получаем

       Ответ .  

Пример 10 . Найти предел последовательности

  ,

Решение . Замечая, что для всех    k  = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

получаем

Ответ .    1 .

На уроке:

• № 5(1,3,5)
• № 6(1,3)

Домашнее задание:

• № 5(2,4,6)
• № 6(2,4),стр.52

Практические задания

1. Запишите окрестность точки радиуса в виде интервала, если:

2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал:

3. Принадлежит ли точка окрестности точки радиуса , если:

Итоговое практическое задание

Существует ли номер , начиная с которого все члены

последовательности попадают в окрестность точки

радиуса :

и составьте,

2. Постройте график последовательности

если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

Итоговое практическое задание

3. Найдите - й член геометрической прогрессии , если:

4. Вычислить:

Важно!

Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.

Рефлексия : (Обучающиеся ставят звезду на картинку, которая соответствует их усвоению материала и внутреннему восприятию урока (Эффект множественного клонирования))

• буду использовать

• узнал новое

• расскажу друзьям

• было интересно

Итог урока.

- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела числовой последовательности, правилами вычисления пределов последовательностей.