Преобразование плоскости: поворот.

План-конспект открытого урока по теме: «Преобразование плоскости: поворот».

Ершова Ирина Васильевна учитель математики

Предмет: геометрия.

Класс: 9.

Тема: Параллельный перенос и поворот

Тип урока: изложение нового материала.

Цели урока:

Образовательная: сформировать представление о повороте как виде движения и отработать пошагово способ построения простейших геометрических фигур;.

Воспитательная: воспитывать трудовые навыки; стимулировать любознательность и творческое начало.

Развивающая: развивать общеучебные навыки анализа, синтеза, классификации, устной речи, самостоятельной работы, работы в группах и коллективе, зрительного представления, творческого воображения, ориентировки в пространстве.

Задачи урока:

- добиться усвоения понятия поворота как вида движения;

- добиться умения получать фигуру путем поворота в случае простейших фигур: точки, отрезка, треугольника;

- продемонстрировать применение указанных преобразований к решению задач.

Оборудование и пособия: интерактивная доска, карточки для групповой работы, заготовленные слайды, видеопроектор, транспортиры, чертежные инструменты;

«пиратский» инвентарь: пиратская шляпа, повязка на глаз, бандана, слайд с «картой сокровищ» .

Этапы урока.

Ход урока.

1.Целеполагание.

Обратиться к ученикам: «Повернитесь друг к другу и посмотрите друг на друга. Каким словом можно назвать это действие?». «Поворот». – «Вы уже догадались, о чем пойдет речь сегодня на уроке?»

Формулировка и запись темы урока.

- Мы все встречаемся с этим понятием в жизни, а сегодня наша цель – узнать, что такое поворот в научном математическом понимании и научиться осуществлять поворот простейших геометрических фигур.

2. Актуализация опорных понятий.

Что мы в математике называем движением? .( Движение – это такое преобразование плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками).

Что является показателем того, что произведенное преобразование является именно движением? – Сохранение расстояний между точками.

.

Рассмотрим на примерах, является ли в каждом случае преобразование движением? Сохраняется ли расстояние между точками?

3. Повторение пройденного материала.

Какое преобразование, являющееся движением, мы уже умеем выполнять? – Параллельный перенос.

Теперь, давайте вспомним, как мы этим определением можем воспользоваться, когда нам, скажем, предстоит перенести треугольник. Ведь, согласно, определению, нужно перенести каждую его точку, как же это возможно сделать?

- Достаточно перенести три точки его концов, т.к. по двум концам можно получить только один отрезок.

Вспомним, как мы умеем это делать? С помощью слайдов проговорим устно этапы построения параллельного переноса в этом случае.

Итак, дан треугольник и указан вектор переноса.

Дано:

Этапы построения переноса:

4. Изложение понятия «поворот».

Ну, а теперь мы продолжим знакомство с видами движения и переходим к следующему из них, о котором сказали в начале урока, а именно, к повороту.

4.1. Подведение к понятию «поворот».

Рассмотрим примеры поворота.

- Что здесь поворачивается?

- Стрелка.

-Какое направление поворота?

-По часовой стрелке.

- Что является центром поворота?

- Середина часов.

- На какой угол я повернула стрелку? (15 мин, 30мин, 45 мин, ровно)

- На 90˚, 180˚, 270˚, 360˚.

4.2 Примеры поворота в повседневной жизни.

Рассмотрим еще примеры поворота. Определите в них центр и направление.

4. 3 Теория поворота

Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол ά называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, ОМ=ОМ₁ и угол МОМ₁ равен ά.

ДАНО:

Угол ά, точка М, центр поворота – точка О.

ПОСТРОЕНИЕ:

Поворот является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Выполняем поворот точки с проговариванием каждого этапа. По выполнении работы учащимся предлагается повторно проговорить шаги построения.

5. Тренировочное закрепление.

5.1 Поворот отрезка, когда центр поворота совпадает с одним из его концов.

Допустим, нам требуется повернуть отрезок. Как мы можем повернуть каждую его точку, ведь их бесконечно много?

- Надо повернуть его концы.

- А остальные точки тоже повернутся? Можно ли это как-нибудь доказать?

- По аксиоме: через две точки проходит единственная прямая.

- А если речь пойдет о треугольнике или другой фигуре, состоящей из отрезков?

- Тогда надо повернуть вершины, т.е. концы отрезков.

Переходим к тренировке.

Дан отрезок. Центр поворота совпадает с одним из его концов. Задание: повернуть отрезок на заданный угол вокруг заданного центра. Следует слайд с анимацией.

- Что произошло с точкой О? – Перешла в саму себя.

-Остается теперь повернуть точку А, а как это делать вы только что видели. Свернуть кадр с результатом.

- Задание: воспроизведите в тетради результат. Снова развернуть кадр с результатом, выполняется самопроверка.

На том же чертеже выполним поворот в другую сторону: против часовой стрелки. Пока идет выполнение задания, раздаю листы для группового задания и маркеры тем, кто справился в первую очередь Группы приступают к выполнению задания, с остальными и теми, у кого есть вопросы, разбираем это задание и проговариваем определение, шаги построения.

5.2 Работа в группах.

Задание усложняется. Требуется выполнить поворот отрезка на заданный угол с заданным центром, не совпадающим ни с каким из его концов. (Задание одно на группу из 4-х человек).

4 группы.

1 группа 2 группа

3 группа 4 группа

Проверка. Сравниваем отрезки, полученные 1 и 2 группами; 3 и 4 группами- они должны быть одинаковыми ( одинаковая длина и параллельны), т.к. это поворот одного и того же отрезка дважды на угол 90˚.

6. Физкультминутка «поворот»

Итак, продолжаем изучать поворот. Ну, как его можно изучать, ни разу не повернувшись?

Давайте встанем. Учитель говорит: « Внимание, поворот: 90 градусов вправо. Внимание, поворот: 180 градусов влево. И снова влево на 360 градусов. А теперь на 360 градусов вправо. А теперь повторим снова…». Заодно, повторили «право-лево».

7.Связь с другими науками

- Посмотрите на этот цветок, какой он очаровательный. Но его очарование не просто интуитивно, оно подчиняется математическим законам. Давайте посмотрим на него сверху.

Видите: никакой лист не располагается один под другим, а как растет каждый следующий лист?

- Повернут по отношению к другому на какой-то угол.

- Вокруг какого центра?

- Вокруг стебля.

- А для чего так в природе устроено, зачем каждый следующий лист повернут на один и тот же угол?

- Чтобы был доступ солнца к каждому следующему листу и осуществлялся процесс фотосинтеза.

А теперь предлагаю вашему вниманию стихотворение известного русского ученого М.В. Ломоносова, в котором он гениальным примером указывает ответ на известный научный спор. О каком же споре идет речь?

Случилось вместе два астронома в пиру,

И спорили весьма между собой в жару.

Один твердил: Земля, вертясь, круг Солнца ходит;

Другой – что солнце все с собой планеты водит;

Один Коперник был, другой слыл Птолемей.

Тут повар спор решил усмешкою своей.

Хозяин спрашивал: - Ты звезд теченье знаешь?

Скажи, как ты о сем сомненье рассуждаешь?

Он дал такой ответ: - Что в том Коперник прав,

Я правду докажу, на Солнце не бывав.

Кто видел простака из повара такого,

Который бы вертел очаг кругом жаркого?

Речь идет о столкновении теорий геоцентрической (гео – земля) и гелиоцентрической (гелиос – земля). Применяя к нашему уроку, мы можем сказать, что этот спор шел о центре поворота.

-Кто знает основоположников той и другой теорий?

-«Геоцентрическая» – Клавдий Птолемей; «гелиоцентрическая» – Коперник.

Итак, какие примеры поворота мы здесь наблюдаем? Вокруг какого центра происходит этот поворот?

-На какой угол поворачивается земля за 1 сезон? Подсказка: это четверть оборота.

-На 90˚.

-А за полгода?

-На 180˚

-За год?

-На 360˚.

8. Рассмотрение творческой задачи-инсценировки.

Ну, и под конец нас ждет один приключенческий сюжет, но будьте внимательны; в нем вы должны распознать задачу. Поэтому приготовьте карандаши и линейки по ходу сюжета вы должны будете сделать необходимый к задаче чертеж, который потом будем обсуждать.

Инсценировка. Два подготовленных ученика надевают инвентарь: старый пират – повязку на глаза и пиратскую шляпу, другой – молодой пират Джо – бандану.

СТАРЫЙ ПИРАТ:

Поди сюда, Джо. Ты знаешь, зачем я тебя сюда позвал? Я уже старый пират и чувствую, что дни мои сочтены, поэтому я хочу открыть тебе тайну. Ты знаешь, на что я потратил все последние годы? На поиски клада. Ценою жизни я раздобыл карту, где указано, как найти лад. Вот она (на самом деле там не карта, а текст задачи). Прочти, что там написано.

Джо разворачивает «карту», читает медленно, чтоб все смогли начертить чертеж.

Где зарыт клад.

На берегу острова имеется дуб D , берёза B , вкопанный флаг F. От F надо пройти к D , считая шаги, повернуть направо( строгий поворот направо - 90˚ ), пройти столько же и вбить кол K₁, от F дойти до B , повернуть налево, пройти столько же, вбить кол K₂. Точно посредине между кольями рыть.

ДЖО.

Так если у тебя эта карта, почему ты до сих пор не раскопал клад?

СТАРЫЙ ПИРАТ.

Вот в этом и вся проблема. Когда я приплыл на этот остров, флага там не оказалось. (Встают). Джо, я поручаю тебе это дело. Ты должен, должен найти этот клад. (Уходят.).

Ну что, поможем Джо найти клад? Сначала проверим, такой ли у вас вышел чертеж?

Решение.

К1 переходит в F путем поворота на 90˚ с центром в точке D;

F переходит в К2 путем поворота на 90˚ с центров в точке В.

Таким образом, К1 переходит в К2 в результате двух поворотов (композиции) вокруг точек D и В; точка Х – центр симметрии. Важный вывод: этот же центр симметрии можно получить и другим путем, минуя точку F, а именно: отобразить любую другую точку путем этих же двух поворотов: вокруг точек D и В на 90˚. Удобно взять уже имеющуюся точку. Какие ваши предложения? Возьмем точку D.

Повернем её вокруг неё же самой на 90˚ – какую точку получим? – Опять D.

Повернём её вокруг точки В на 90˚. Это надо построить.

Получение точки К. (Это не та же точка, что и К2). Соединяем точки D и К и делим данное расстояние пополам. Получаем точку Х.

9. Подведение итогов.

Перед вами набор математических понятий. Выберите те понятия, с которыми мы работали сегодня на уроке.

Луч, симметрия, движение, биссектриса, расстояния, плоскость, перпендикуляр, высота, поворот, отображение.

Для проверки: выбранных слов должно получиться 5.

А теперь свяжите их в одно предложение. (При правильном выполнении задания должно получиться определение поворота). Если у вас получилось определение поворота, значит, вы сегодня на уроке его усвоили.