Презентация «Готовимся к ОГЭ по информатике. Задание 10»

ОГЭ по информатике

Часть 1. Задание 10

Справочная информация

Система счисления – это знаковая система для записи чисел и соответствующие правила действий над числами. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами , а их совокупность – алфавитом системы счисления.

В непозиционной системе счисления количественное значение цифры в числе не зависит от её позиции в записи числа. Из непозиционных систем самая известная – римская. Римское число ХХХ состоит из трёх цифр Х, каждая из которых обозначает одну и ту же величину – число 10. Три цифры по 10 в сумме дают 30.

В позиционных системах количественное значение цифры зависит от её позиции (разряда) в записи числа. В такой системе счисления основание системы равно количеству цифр в её алфавите и определяет, во сколько раз отличаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних разрядах. Основание системы счисления принято указывать нижним индексом после числа.

Например, число в десятичной системе счисления 534 10 записано в привычной для нас свернутой форме . В развернутой форме его можно записать так:

2 1 0

534 10 = 500 + 30 + 4 = 5 ∙ 10 2 + 3 ∙ 10 1 + 4 ∙ 10 0

Развернутая форма записи числа представляет собой сумму произведений его цифр на степени основания, соответствующие позиции цифры в числе. Теоретически возможно использование множества позиционных систем счисления с основанием ≥ 2.

Справочная информация

Двоичная система счисления используются в компьютере для кодирования информации. Но запись чисел в двоичной системе счисления получается очень длинной.

Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления используют для компактной записи длинных двоичных чисел. В шестнадцатеричной системе счисления в качестве дополнительных цифр используются буквы латинского алфавита.

В приведённой ниже таблице соответствия чисел жирным шрифтом выделены цифры различных систем счисления.

Десятичная

(Dec)

Двоичная

0

Восьмеричная

(Bin)

000 0

1

(Oct)

Шестнадцатеричная

0

000 1

2

(Hex)

3

0

1

00 10

4

00 11

2

1

2

0 100

5

3

6

3

4

0 101

7

0 110

5

4

5

6

0 111

8

9

1000

7

6

7

1001

10

10

8

11

1010

11

9

12

12

1011

1100

13

13

A

B

14

14

1101

1110

15

15

C

D

16

1111

16

E

17

10000

. . .

F

20

. . .

10

. . .

. . .

Справочная информация

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Для перевода в десятичную систему счисления число записывают в развернутой форме и вычисляют его значение.

Примечание: любое число в нулевой степени равно 1 .

4 3 2 1 0 11011 2 = 1 ∙ 2 4 + 1 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 = 1 ∙ 16 + 1 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 = 27 10

2 1 0 275 8 = 2 ∙ 8 2 + 7 ∙ 8 1 + 5 ∙ 8 0 = 2 ∙ 64 + 7 ∙ 8 + 5 ∙ 1 = 189 10

2 1 0 1AF 16 = 1 ∙ 16 2 + A ∙ 16 1 + F ∙ 16 0 = 1 ∙ 256 + 10 ∙ 16 +15 ∙ 1 = 431 10

Справочная информация

Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления

Для перевода необходимо делить нацело с остатком исходное целое число и получаемые целые частные на основание нужной системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше основания системы счисления.

Последнее частное и полученные остатки, записанные в обратной последовательности, дают запись этого числа в новой системе счисления. Например:  

19 10 =

10011 2  

Целое частное

19 : 2 = 9

Остаток от деления на 2

9 : 2 = 4

1

4 : 2 = 2

1

2 : 2 = 1

0

0

10-1

Как записывается десятичное число 54 в двоичной системе счисления?

В ответе запишите только цифры числа, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение.

Переведём число из десятичной системы счисления в двоичную, используя известный алгоритм деления на 2 с остатком:

54 10 = 110110 2

Ответ: 110110.

Возможна формулировка задания, в котором в ответе надо записать не само число, а количество единиц или нулей в нём. В данном случае это были бы 4 и 2 соответственно.

10-2

Некоторое число в двоичной системе счисления записывается как 101011.

Определите это число и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

Решение.

Переведём число из двоичной системы счисления в десятичную, записав его в развёрнутой форме и проведя вычисления:

5 4 3 2 1 0 101011 2 = 1∙2 5 + 0∙2 4 + 1∙2 3 + 0∙2 2 + 1∙2 1 + 1∙2 0 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43 10

Ответ: 43.

10-3

Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, в двоичной записи которого наименьшее количество единиц.

В ответе запишите количество единиц в двоичной записи этого числа.

49, 47, 45

Решение.

Переведём все числа в двоичную систему счисления, используя известный алгоритм деления на 2 с остатком:

49 10 = 110001 2 (3 единицы)

47 10 = 101111 2 (5 единиц)

45 10 = 101101 2 (4 единицы)

Наименьшее количество единиц в двоичной записи числа 49 (3 единицы).

Ответ: 3.

10-4

Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в восьмеричной записи наименьшая.

В ответе запишите сумму цифр в восьмеричной записи этого числа.

86, 99, 105.

Решение.

Переведём все числа в восьмеричную систему счисления, используя алгоритм деления на 8 с остатком:

86 10 = 126 8 (1+2+6 = 9)

99 10 = 143 8 (1+4+3 = 8)

105 10 = 151 8 (1+5+1 = 7)

Наименьшая сумма цифр в восьмеричной записи числа 105 (сумма цифр 7).

Ответ: 7.

10-5

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

110110 2 , 61 8 , 2F 16 .

Решение.

Переведём все числа в одну систему счисления – в десятичную:

5 4 3 2 1 0 110110 2 = 1∙2 5 + 1∙2 4 + 0∙2 3 + 1∙2 2 + 1∙2 1 + 0∙2 0 = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 54 10

1 0 61 8 = 6∙8 1 + 1∙8 0 = 48 + 1 = 49 10

1 0 2F 16 = 2∙16 1 + F∙16 0 = 2∙16 1 + 15∙16 0 = 32 + 15 = 47 10

Среди чисел 54, 49, 47 минимальное число 47.

Ответ: 47.