Презентация к исследовательской работе

Решение уравнений способом «переброски»

• ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.
• Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.
• Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.
• Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .
• При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

• ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

• Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а.

2) Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

• Приведенное уравнение х 2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Эту формулу особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Графическое решение квадратного уравнений

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q.

Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q.

Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения

Графическое решение квадратного уравнений

• - прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
• - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

• Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х 1 ; 0 ) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + bх + с = 0 , и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC , откуда OC = OB • OD / OA= х 1 х 2 / 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

SK, или R a + c/2a) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 . 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс , в этом случае уравнение не имеет решения. " width="640"

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

• 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS SK, или R a + c/2a) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 .
• 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.
• 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс , в этом случае уравнение не имеет решения.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам :

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а , из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию