Презентация к уроку алгебры на тему "Производная" (11 класс)

ПРОИЗВОДНАЯ

11 КЛАСС АЛГЕБРА

Автор презентации:

Попов Дмитрий Сергеевич

ПЛАН УРОКА:

• Откройте тетради, запишите дату и тему урока.
• Изучите материал, расположенный на слайдах 3 – 15, выпишите основные определения и формулы.
• Рассмотрите решение заданий (слайды 16-19).
• Выполните домашнее задание (слайд 21).

Функции достаточно часто встречаются при решении задач. Они могут быть как составными частями какого-то задания, так и отдельным номером. Разумеется, встречаются не только простые функции. Если открыть банк заданий, то мы удивимся, насколько сложными они бывают. Так что делать с такими сложными и непонятными функциями? 

Производная – одно из самых важных понятий математического анализа. С её помощью можно описать поведение любой функции.

ПОЧЕМУ ФУНКЦИИ ПОХОЖИ НА АМЕРИКАНСКИЕ ГОРКИ?

Предположим, мы хотим прокатиться на американских горках. Представим их вид сбоку: это череда подъемов и резких спусков. Мы можем с легкостью описать их: на каких участках будет подъем, а на каких спуск, насколько крутыми они будут, сколько раз вагончик преодолеет границу между подъемом и спуском или спуском или подъемом. Мы даже можем предположить, на каких участках вагончик разгоняется сильнее. Точно так же можно описать и любую функцию.

ПРЕДСТАВИМ НАШИ АМЕРИКАНСКИЕ ГОРКИ В ВИДЕ ФУНКЦИИ

Функция будет на некоторых участках возрастать, а на некоторых убывать. Скорость ее изменения на разных участках будет разной. 

Скорость изменения функции показывает,  насколько сильно будет изменяться значение функции (то есть значение у ) при небольшом изменении переменной функции (то есть значения х ).  

Отложим на нашем графике две точки: х и х 1  и поднимем из них прямые, которые пересекут график в точках А и В. Тогда точка А будет иметь координаты (х;у), а точка В — (х 1 ;у 1 ). 

Представим, что наш вагончик проехал из точки А в точку В. Расстояние, которое он проехал по горизонтали, будет равно х 1  — х, а поднялся он на высоту у 1  — у. Для удобства дальнейших рассуждений примем эти расстояния за х и у. 

Знак Δ “дельта” — означает изменение величины, то есть разность между тем, что было в точке А и стало в точке В.

Приращение функции   — это разность между двумя значениями функции, то есть у.

Приращение аргумента — это разность между двумя значениями аргумента, то есть х.

Скорость изменения функции   будет равна  отношению приращения функции к приращению аргумента . При этом чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее мы приблизимся к верному значению. 

Отсюда мы получаем определение производной функции.  

Производная функции   — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. 

Если мы применим   одинаковое приращение аргумента к разным участкам функции, то заметим, что приращение функции также будет разное . Где-то значение  у  изменится больше, где-то меньше. Именно так изменяется скорость функции на разных ее участках. 

Нахождение производной называют дифференцированием.

Определение производной

Производной функции y= f(x) в точке x =x 0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x, при стремлении приращения аргумента к нулю.

Физический смысл производной

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t 0 .

К моменту времени t 0 пройденный путь равен s 0 = s(t 0 ), а к моменту (t 0 + ∆t) – путь s 0 + ∆s=s(t 0 +∆t).

Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет

Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t 0 . Поэтому под скоростью точки в момент t 0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t 0 до t 0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.

Физический смысл производной функции в данной точке

.

Алгоритм нахождения производной

• Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) .

• Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х) .
• Найти приращение функции: ∆ f = f(x 0 + ∆ х) – f(x 0 ) .
• Составить отношение .
• Вычислить lim .
• Этот предел и есть f ′ (x 0 ) .

∆ f

∆ х

∆ f

∆ х

∆ x→0

Вычислим производную функции y=x 2

Решение №776 (2)

Решение №777 (2)

Решение №778 (1)

Задание из доп. литературы

умею…

знаю…

Рефлексия

Закончи предложения…

Я

могу…

Домашнее задание

• Прочитать параграф 44.
• Решите № 776(1), 777(1), 778(2).
• Решите задание из дополнительной литературы:

Удачи в выполнении работы!