Презентация к уроку геометрии на тему "Трапеция, её средняя линия" (8 класс)

8 класс ГЕОМЕТРИЯ Трапеция, её средняя линия

Подготовил: Попов Дмитрий Сергеевич

В треугольниках мы рассматривали такой элемент, как средняя линия – отрезок, соединяющий середины любых двух его сторон. По аналогии такой же элемент можно ввести и для трапеции. При этом он окажется полезным инструментом для описания различных свойств трапеции.

Сегодня на уроке нас будет интересовать отрезок, соединяющий середины именно боковых сторон трапеции. Такой отрезок называется средней линией трапеции. Отрезок  – MN средняя линия трапеции ABCD Поскольку свойства средних линий треугольника и трапеции очень похожи, то рассмотрим их вместе.

Мы будем изучать свойства средней линии трапеции – линии, которая соединяет середины боковых сторон. Но ведь можно соединить середины двух других сторон трапеции – оснований. Что можно сказать про эту линию? Оказывается, у нее тоже есть любопытное свойство. Оказывается, что  на этой линии лежат не только середины оснований трапеции, но и точка пересечения боковых сторон и даже точка пересечения диагоналей трапеции , причем это свойство выполняется для любых трапеций. Чаще всего доказательство того факта, что несколько точек лежат на одной прямой выполняется с помощью удобного инструмента – векторов, который мы будем изучать в  9 классе. Но и сейчас, в принципе, доказательство этого утверждения нам под силу.

Но через любые две точки проходит только одна прямая, значит, через точки E и K проходит прямая, на которой лежат и точка M, и точка O. Мы доказали, что все 4 точки лежат на одной прямой. На линии, соединяющей середины противоположных оснований трапеции, лежат середины оснований трапеции (точки К и Е), точка пересечения боковых сторон (точка М) и точка пересечения диагоналей трапеции (точка О). Помимо того, что этот факт можно использовать при решении различных задач, стоит заметить, что даже три произвольные точки редко оказываются одновременно на одной прямой (вспомните: если бросить три случайные точки на стол, то они наверняка образуют треугольник, т. е. не будут лежать на одной прямой). А уж четыре точки – это еще бо́льшая редкость. Так что с точки зрения математики этот факт примечателен сам по себе.

Теорема о средней линии трапеции Рассмотрим трапецию ABCD. Проведём среднюю линию МN. Очень похоже, что она тоже параллельна основанию, вернее, обоим основаниям. Отрезок МN – средняя линия трапеции ABCD. Докажем это утверждение!

Получаем  теорему о средней линии трапеции : средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их среднему арифметическому (полусумме). Верно и  обратное утверждение , которое формулируется так: отрезок, проведенный через середину боковой стороны трапеции параллельно ее основаниям, является средней линией (т. е. проходит через середину другой боковой стороны). Доказательство это обратного утверждения точно такое же, как и аналогичного утверждения для треугольника.

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОС:

На каком рисунке средняя линия трапеции?

Задача 1

Дано: АВ = 16 см, СD = 18 см, MN = 15 см.

Найти: Р ABCD - ?

Задача 2

Основания трапеции равны 9 см и 17 см. Чему будет равна средняя линия этой трапеции?

Задача 3

Найти: AD.

Задача 4

Основания трапеции относятся как 3 : 4, а средняя линия равна 14 см. Найдите основания трапеции.

Задача 5

Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Домашнее задание

• Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции .

• Боковые стороны трапеции равны 12 см и 16 см, а периметр равен 54 см. Найдите среднюю линию трапеции.

• Высота прямоугольной трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 7 см и 5 см, считая от вершины прямого угла. Найди среднюю линию трапеции.

Спасибо за урок!