Презентация к уроку геометрии "Теорема Пифагора"

Теорема

Пифагора

ГБОУ РО ДККК. Преподаватель математики Шелковская Елена Евгеньевна .

Цели урока

• Систематизировать знания о сторонах, углах, вершинах, о площади треугольника и обобщить эти знания для доказательства теоремы Пифагора.
• Формировать умения применять ранее полученные знания о треугольниках, для получения новых знаний.
• Развивать математическое мышление.
• Формировать учебно-интеллектуальные умения: анализировать, обобщать, сравнивать; коммуникативные умения.
• Воспитывать интерес к математике.

« Геометрия

владеет

двумя

сокровищами:

одно из них –

это

теорема

Пифагора»

Иоганн Кеплер

Вопросы

Что изображено?

Как называются стороны АС и ВС?

Чему равна площадь этого треугольника?

Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?

A

с

b

 А +  В = 90°

B

a

C

Докажите, что треугольники равны.

B

A 1

C 1

A

C

B 1

Задача

Найти угол 









C

D

B

A

E

S ABCDE = S ABC + S ADC + S ADE

6

6

Решите устно

1.

Дано: ∆ ABC,  C=90°,

AB=18 см, ВC=9 см

Найти:  B,  А

2.

Дано: ∆ ABC,  C=90°,

 B=60°, AB=12 см

AC=10 см

Найти: S ∆АВС

B

60

18

12

9

C

A

10

6

Пифагор Самосский

о. Самос

Пифагор Самосский

• Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии.

«Ослиный мост»

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Что изображено?

Решите устно

Из чего он состоит?

a

Докажите, что треугольник

b

KВМ равен треугольнику MСN.

C

M

В

3

2

a

Что можно сказать о площадях этих треугольников?

c

4

b

c

1

N

Доказать: KMNP - квадрат

c

K

Доказательство

b

c

В четырехугольнике KMNP все стороны равны с .

a

Найдем величину угла KMN.

 1 +  2 = 90° и  1 =  3    2 +  3 =90°   KМN=90°.

a

b

P

A

D

Аналогично можно доказать, что все углы в четырехугольнике KMNP прямые, а это и означает, что KMNP - квадрат .

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

a

b

B

M

C

3

2

a

c

4

b

c

Доказательство

N

1

• ABCD - квадрат, AB = a + b, S ABCD = (a + b) 2

c

K

b

с

c

S APK = ab S KMNP = c 2

(a + b) 2 = 4 · ab + c 2

а

a

b

a

b

D

A

P

a 2 + 2ab +b 2 = 2ab + c 2

a 2 + b 2 = c 2

c ²=a²+b²

2. Квадрат ABCD состоит из четырех равных прямоугольных треугольников, одним из которых является треугольник APK, и квадрата KMNP со стороной с, значит S ABCD = 4S APK + S KMNP

Теорема Пифагора

Итак,

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

История теоремы Пифагора

Пифагор Самосский

ок. 580 – ок. 500 до н.э.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому:

«Площадь квадрата,

построенного на

гипотенузе

прямоугольного

треугольника,

равна сумме

площадей квадратов,

построенных на его

катетах».

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры.

Шаржи из учебника XVI века

Ученический шарж XIX века

№ 483

Дано: ∆АВС,  С=90º, а=6, b=8

Найти: с.

Решение:

∆ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ. По теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС²

с²=а²+b²

с²=6²+8²

с²=36+64

с²=100

c=10

Ответ: 10

А

?

8

6

В

С

№ 483

с ² = а 2 + b 2

А

а

c

b

10

8

6

5

√ 61

6

с

в

8

с =√ а 2 + b 2

а

В

С

№ 484

с ² = а 2 + b 2

а

b

c

13

5

12

А

13 ² = 12 2 +b 2

4 √3

169 = 144 + b 2

2b

12

b 2 = 25

2

3b

b = 5

Запишем формулы для нахождения катетов прямоугольного треугольника:

с

в

4b ² = 12 2 + b 2

а 2 + b 2 =c ²

3b ² = 144

а 2 =c ²-b²

b ² = 48

а= √c²-b²

а

В

С

b = √ 48

b 2 =c ²-a²

b = 4√3

b = √c²-a²

Задача из учебника

"Арифметика" Леонтия Магницкого

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

№ 486

с ² = а 2 + b 2

B

C

AD ²=AC²-CD²

5

AD =12

13

D

A

№ 487

Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см, АС=16 см, BD  AC

Найти: BD.

Решение.

1. AD=DC=AC:2=8 cм

2. Рассмотрим ∆ADB.

BD²=AB²-AD²

BD=√289-64

BD=15 (см)

Ответ: 15 см

B

С

D

А

Изречения Пифагора

• Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела.

• Шуткой беседу укрась, освети. Шутка, что соль. Лишь не пересоли…

• Лучше молчи, ну, а коль говоришь, Пусть будет лучше, чем то, что молчишь.

• Если ты в гневе, не смей говорить! Действовать резко и злобу сорить.

• Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреет Под языком твоим. Созревшая - все смеет.

Домашнее задание:

• п. 54
• № 483 (в); № 484 (б, г); 486(б, в)
• Подготовить сообщения «Египетский треугольник» , о Пифагоре и другие доказательства теорем.
• Кроссворд.

Память.

Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

Спасибо за внимание!