Презентация по геометрии "Признаки равенства прямоугольных треугольников" для 7 класса

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Вопрос 1

Какой треугольник называется прямоугольным?

Ответ: Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

1

2

4

3

Гипотенуза

Катет

Вопрос 2

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

А

C

Катет

B

Вопрос 3

Назовите свойства прямоугольного треугольника.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 °

• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

• Если катет равен половине гипотенузы то он лежит против угла в 30°.

Решение задач по готовым чертежам

Дано: MNK, М = 37 

Найти:

1.

N

N

37 

М

K

N=53 

• Дано: ABC, АВ = 12см,

А = 30 

Найти : ВС

A

30 

12см

C

B

BC=6 см

Q = 30 

3. Дано: PQD, PD = 1,2cм,

Найти : PQ

P

1,2см

30 

Q

D

PQ=2,4 см

4. Дано: ABC, АВ = 4,2см, ВС = 8,4см.

Найти:

В

A

4,2см

C

B

8,4см

B=60 

Признаки равенства треугольников.

B 1

B

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

C

C 1

A

A 1

B 1

B

Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

C

A

A 1

C 1

B 1

B

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны .

C 1

C

A 1

A

Признаки равенства

Прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников .

А

А 1

1.а

1.б

B 1

B

?

=

=

C

A

C

C 1

B

B 1

C 1

A 1

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников).

А

А 1

2.а

2.б

B 1

B

?

=

=

C

C

C 1

B 1

B

C 1

A 1

A

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны (по второму признаку равенства треугольников).

Теорема1

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

А 1

А

Дано: АВС, А 1 В 1 С 1 - прямоугольные, АВ = А 1 В 1 , В = В 1

АВС = А 1 В 1 С 1

Доказать:

C 1

C

B 1

B

Доказательство:

Т.К. В = В 1 , то по свойству углов прямоугольного треугольника А = А 1 . .

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

АВС = А 1 В 1 С 1

Ч.т.д.

Теорема2

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

В 1

В

Дано: АВС, А 1 В 1 С 1 - прямоугольные, АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1

АВС = А 1 В 1 С 1

Доказать:

C

C 1

А 1

Доказательство:

А 2

А

Т.к. С = С1, то наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, что С совместится с С 1 , а стороны СА и СВ наложатся на лучи С 1 А 1 и С 1 В 1 . Тогда А и А 1 также совместятся.

Если предположить, что А совместится с А 2 , то А 1 В 1 А 2 – равнобедренный, но А 1 = А 2 . Получили противоречие, значит А совместится с А 1 .

Следовательно АВС совместится с А 1 В 1 С 1 , то есть они равны.

Ч.т.д.

Задача 1

В

D

А

С

Доказать: Δ АВD=Δ АСD

Задача 2

В

С

D

А

Доказать: Δ АВС=Δ АDС

Задача 3

C

D

В

А

Доказать: Δ АВD= Δ ВСD

Задача 4

С

В

О

D

А

Дано:

Δ АВО, Δ СDО - прямоугольные ,

АС пересекает ВD в т. О.

ВО = ОD

Доказать: АВ = СD

Самостоятельная работа

1 вариант

N

2 вариант

В

1. Дано: ∆ABC,

1.

Дано: ∆MNK,

BD – высота, АD = DC

NQ – высота, MN = NK

Доказать : ∆MNQ = ∆ NKQ

Доказать : ∆АВD = ∆ BDC

С

K

А

M

D

Q

P

А

2. Дано: ∆PKM-прямоугольный,

2.

Дано: ∆АВС-прямоугольный,

PMN = 150 

СВD = 120 

Найти: A

Найти: Р

150 

K

C

B

M

N

120 

D

Самостоятельная работа

1 вариант

В

2 вариант

N

Дано: ∆MNK,

1.

1.

Дано: ∆ABC,

BD – высота, АD = DC

NQ – высота, MN = NK

Доказать : ∆MNQ = ∆ NKQ

Доказать : ∆АВD = ∆ BDC

Доказательство: АD = DC по условию, BD – общая.

Доказательство: MN= NK по условию, NQ – общий катет.

∆ АВD = ∆ BDC по

катетам.

∆ MNQ = ∆ NKQ по гипотенузе и катету.

С

K

А

M

D

Q

P

А

2.

Дано: ∆АВС-прямоугольный,

2. Дано: ∆PKM-прямоугольный,

PMN = 150 

СВD = 120 

Найти: Р

Найти: A

150 

K

C

B

Решение:

Решение:

M

N

120 

PMN = 180°- 150  = 30°, как смежные углы.

АВС = 180°- 120  = 60°,

как смежные углы.

D

А = 90° - 60° = 30°, как сумма острых углов прямоугольного треугольника.

Ответ: 30°

Р = 90° - 30° = 60°, как сумма острых углов прямоугольного треугольника.

Ответ: 60°

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников).

1.

А

А 1

=

C

C 1

B

B 1

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны (по второму признаку равенства треугольников).

2.

А

А 1

=

B 1

C

C 1

B

3.

А 1

А

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

=

B 1

C 1

C

B

4.

А 1

А

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

=

C

B 1

B

C 1