Презентация по теме "Степенные функции"

Урок алгебры в 11 классе

Степенные функции,

их свойства и графики.

Заголовок слайда

Функция вида у = х r (где r - любое действительное число (в том числе и иррациональное)) называют

степенными функциями .

Если r - натуральное число ( r = n ), то получаем функцию y = x n .

n=1

n=2

n=3

у = х

у = х 2

у = х 3

y

у = х 2

у = х 4

у = х 6

- 1 0 1 2

x

y

у = х 3

у = х 5

у = х 7

- 1 0 1 2

x

Если r = -n , то получаем степенную функцию y = x -n или

n - чётное

n - нечётное

у = х -3

у = х -2

y

у = х -2

у = х -4

у = х -6

- 1 0 1 2

x

y

у = х -1

у = х -3

у = х -5

- 1 0 1 2

x

При r = 0 имеем функцию y = x 0 или у = 1

(где х ≠ 0). Графиком такой функции является горизонтальная прямая у = 1 с выколотой точкой

х = 0

1

Рассмотрим теперь степенные функции

С рациональными показателями степени.

Их свойства и графики существенно зависят от показателя степени.

1

Свойства функции:

• Область определения D(f) = [0; +∞).
• Определённой чётности не имеет.
• Возрастает на промежутке [0; +∞).
• Ограничена снизу и не ограничена сверху.
• Наименьшее значение у наим = 0, наибольшего значения не имеет.
• Непрерывна.
• Область значений Е(f) = [0; +∞).
• Выпукла вниз.

1

y

у = х 2,5

у = х 3,1

у = х 1,5

- 1 0 1 2

x

1

Свойства функции:

• Область определения D(f) = [0; +∞).
• Определённой чётности не имеет.
• Возрастает на промежутке [0; +∞).
• Ограничена снизу и не ограничена сверху.
• Наименьшее значение у наим = 0, наибольшего значения не имеет.
• Непрерывна.
• Область значений Е(f) = [0; +∞).
• Выпукла вверх.

1

y

у = х 0,84

у = х 0,7

у = х 0,5

- 1 0 1 2

x

1

Свойства функции:

• Область определения D(f) = (0; +∞).
• Определённой чётности не имеет.
• Возрастает на промежутке (0; +∞).
• Ограничена снизу и не ограничена сверху.
• Наименьшего и наибольшего значений не имеет.
• Непрерывна.
• Область значений Е(f) = (0; +∞).
• Выпукла вниз.

1

y

у = х -2,3

у = х -3,8

у = х -1,3

у = х -0,3

- 1 0 1 2

x

0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = x r вычисляется по формуле " width="640"

Теорема.

Если х0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = x r вычисляется по формуле

Найдём производную функции:

Пример 1.

При этом было использовано правило дифференцирования

0 . Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдём из условия или , откуда х=1 . 3. Очевидно, что при х (0;1] , значение у'≤0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При х [1;+∞) значение у'≥0 и функция у(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум " width="640"

э

э

Исследуем функцию

На монотонность и экстремумы и

построим её график.

Пример 2.

1. Найдём производную функции:

2. Функция существует при х ≥ 0 , производная существует при х0 . Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдём из условия или , откуда х=1 .

3. Очевидно, что при х (0;1] , значение у'≤0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При х [1;+∞) значение у'≥0 и функция у(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум

4. График функции у(х) пересекает ось абсцисс в точке, которая является решением уравнения или , откуда

х=0 или х=3 .

5. Построим график функции у(х) .

1

3

Напишем уравнение касательной к графику функции в точке а = 1 .

Пример 3.

Напомним общий вид уравнения касательной: y = f(a) + f ‘ (a)(x-a)

1. Найдём значение функции:

2. Найдём производную функции:

и её значение .

3. Подставим значения f(a), f ' (a) и а в уравнение касательной и получим:

Контрольные вопросы:

1. Определение степенной функции у = х r .

2. Свойства функции и её график для:

3. Производная степенной функции.

Источники:

Шаблон презентации:

http://school-box.ru/raznoe/vse-dlya-prezentazii/1486-shablony-dlya-prezentaziy-powerpoint-21.html

Эмблема СУПа:

http://dg54.mycdn.me/getImage?photoId=582860090169&photoType=6

• Мордкович А.Г. - учебник-Алгебра и начала математического анализа(10-11, ч.1, баз.ур.)-2014

• Мордкович А.Г. - задачник-Алгебра и начала математического анализа (10-11 кл., ч.2, баз.ур.) -2014