Презентация по теме "Векторы в пространстве"

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Действия над векторами в координатной форме

Геометрические векторы

• Геометрический вектор – это направленный отрезок.
• Обозначения: ,

Геометрические векторы

• Длина вектора – это расстояние между начальной и конечной точками.
• Обозначения: , или просто АВ, а.
• Вектор называют нулевым , если его начало и конец совпадают.
• Обозначение: .

Геометрические векторы

• Векторы называют коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Обозначение: .

Геометрические векторы

• Векторы называют компланарными , если они лежат в одной плоскости.
• Два вектора называют равными , если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и направление.
• Свободным называют вектор, который можно перемещать в пространстве параллельно его направлению.

Линейные операции над векторами

• Линейными операциями над векторами являются сложение векторов и умножение вектора на число .
• Суммой двух геометрических векторов и называется вектор, который можно построить или по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Сложение векторов

Пусть требуется сложить векторы и , изображённые на рисунке.

Правило треугольника

Параллельным переносом совместим конец вектора с началом вектора . Тогда суммой + будем называть вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора .

Правило параллелограмма

Параллельным переносом совместим начало вектора и начало вектора . Достроим параллелограмм на концах векторов. Суммой векторов и будем называть вектор , являющийся диагональю параллелограмма, начало которого совпадает с началом векторов и .

Свойства сложения векторов

• Коммутативность:
• Ассоциативность:
• Существование нулевого вектора такого, что
• Для любого вектора существует противоположный вектор ( )такой, что

Разность векторов

Можно доказать, что для любых векторов и существует такой вектор , который, будучи сложен с , даст вектор :

Такой вектор называют геометрической разностью :

Произведение вектора на число

Произведением вектора на вещественное число называется вектор , имеющий длину, равную произведению чисел и направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное, если .

Скалярное произведение векторов

• Углом между двумя векторами будем называть угол, который не превосходит  .

• Угол между векторами будем обозначать

Скалярное произведение векторов

• Скалярным произведением двух геометрических векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение векторов

• Если , то , т.к. .

• Если , то , т.к. .

• Если , то , т.к. .

Пример 1.

Вычислить скалярное произведение векторов и , если ; и .

Решение:

Скалярное произведение векторов

Необходимое и достаточное условие перепендикулярности векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны, т.к. и наоборот.

Угол между векторами

Так как , то угол между векторами можно вычислять по формуле:

Пример 2.

Вычислить угол между векторами и , если

,

и скалярное произведение векторов равно -3 ,

Решение:

Ответ:

Рене Декарт предложил координатный метод

Метод позволяет описывать геометрические объекты аналитически, т.е. на языке алгебры.

Одномерная система координат

• Прямая с заданным направлением
• Задана точка – начало координат
• Выбран единичный масштаб

Координата точки

• Координата точки равна расстоянию от начала координат до заданной точки
• Координата положительна, если направление вектора совпадает с направлением координатной оси
• Иначе координата точки отрицательна

Двумерная система координат

Трёхмерная система координат

Расстояние между точками на плоскости

Расстояние между точками в геометрическом пространстве

Пример 3.

Дано:

А (1, -3, 5)

В (2, 4, -6)

d - ?

Решение:

Расстояние между точками пространства

• Длина вектора – это расстояние между двумя точками: началом и концом вектора

Ортонормированный базис

Пример 4.

Известны координаты начальной и конечной точек вектора : A (1, 3, -2) и B (-1, 2, 7).

Разложить вектор по базису , , .

Решение. В примере 1 были найдены координаты вектора (-2; -1; 9).

Следовательно =-2 - +9

Ответ: =-2 - +9

Пример 5.

Известны координаты начальной и конечной точек вектора : A (1, 3, -2) и B (-1, 2, 7).

Разложить вектор по базису , , .

Решение. В примере 1 были найдены координаты вектора (-2; -1; 9).

Следовательно =-2 - +9

Ответ: =-2 - +9

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ!