Презентация "Правильные многогранники" для 10 класса

Правильные многогранники

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэррол

Правильные многогранники

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многогранник называется правильным, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, т.е. является выпуклым, и все его грани есть равные правильные многоугольники.

Простой подсчет суммы углов при вершине правильного многогранника показывает, что существуют только пять правильных многогранников .

Тетраэдр

Икосаэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Гексаэдр

Форму правильных тел, по-видимому, подсказала древним грекам сама природа:

1) Кристаллы поваренной соли имеют форму куба;

2) Правильная форма алмаза – октаэдра;

3) Кристаллы пирита – додекаэдра.

1

2

3

Важным свойством правильных многогранников является существование для каждого из них вписанного и описанного шаров (сфер) таких, что поверхность вписанного шара касается центра каждой грани правильного многогранника, а поверхность описанного шара проходит через все его вершины. Центры этих шаров совпадают между собой и с центром соответствующего многогранника .

Концепция четырех элементов

Ко времени Платона в античной философии созрела концепция четырех элементов(стихий) – первооснов материального мира: огня , воздуха , воды и земли .

Форма куба – атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью.

Форма икосаэдра – атомы воды, т.к. вода отличается своей текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр – наиболее «катящийся»

Форма октаэдра – атомы воздуха, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны

Форма тетраэдра – атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны.

Платон вводит пятый элемент – «пятую сущность» - мировой эфир, атомам которого придается форма додекаэдра как наиболее близкому к шару.

Математические свойства правильных многогранников

Число

Геометрия грани

Тело Платона

m

вершин

граней

Тетраэдр

Октаэдр

Икосаэдр

Гексаэдр

Додекаэдр

4 (тетра)

8 (окта)

20 (икоса)

6 (гекса)

12 (додека)

4

6

12

8

20

3

4

5

3

3

Формула Эйлера Г + В – Р = 2

Теория многогранников - одна из самых увлекательных глав геометрии. Правильные многогранники всегда восхищали пытливые умы симметрией, простотой и мудростью своих форм.

Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям

Иоганн Кеплер

Иоганн Кеплер (1571-1630) – выдающийся немецкий математик, физик, астроном. Следуя пифагоро-платоновской традиции, Кеплер верил, что в основе мироздания лежат простые числовые соотношения и совершенные геометрические формы.

Тайна мироздания

Вселенная устроена на основе единого геометрического принципа (по И.Кеплеру).

В сферу орбиты Сатурна вписываем куб, в куб – сферу Юпитера.

В сферу Юпитера вписываем тетраэдр, в тетраэдр –сферу Марса.

В сферу Марса вписываем додекаэдр, в додекаэдр – сферу Земли.

В сферу Земли вписываем икосаэдр, в икосаэдр – сферу Венеры.

В сферу Венеры вписываем октаэдр, в октаэдр – сферу Меркурия..

В центр всей системы И.Кеплер поместил Солнце.

Космический кубок Кеплера

Иллюстрация И. Кеплера из его книги «Тайна мироздания»

1596 год

Математические расчёты показали, что совпадение с данными Коперника по радиусам планетных орбит было поразительным, но всё-таки не совсем точным. Однако, эта работа привела к открытию истинных астрономических законов- трёх знаменитых законов Кеплера, на базе которых И.Ньютон построил свою теорию тяготения.

Идеи Пифагора, Платона, Кеплера нашли своё продолжение и в наши дни. Московские инженеры В.Макаров и В. Морозов высказали гипотезу, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, лучи или силовое поле кристалла обуславливают икосаэдро- додекэдровую структуру Земли.

Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают контуры вписанных икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль этой сетки, а в узлах располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций. В этих точках расположены загадки Земли: озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли определят отношение к этой гипотезе, в которой правильные многогранники занимают важное место.

Полуправильные многогранники (тела Архимеда)

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон) и все многогранные углы равны.

Полуправильные многогранники называют также равноугольно полуправильными многогранниками, из-за того, что все их многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны

Звёздчатые многогранники (тела Кеплера - Пуансо)