Презентация "Предел последовательности"

19.12.19

Предел последовательности

Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

1; 4; 7; 10; 13; …

Увеличение

на 3

В порядке возрастания

положительные нечетные

числа

Чередовать увеличение

на 2 и увеличение в 2 раза

10; 19; 37; 73; 145; …

1; 3; 5; 7; 9; …

В порядке убывания

правильные дроби

с числителем, равным 1

5; 10; 15; 20; 25; …

6; 8; 16; 18; 36; …

Увеличение в 2 раза

и уменьшение на 1

В порядке возрастания

положительные числа,

кратные 5

Что такое числовая последовательность?

• Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие некоторое действительное число х п , то говорят,

что задана числовая последовательность .

Числовая последовательность – это функция ,

область определения которой есть множество N

всех натуральных чисел. Множество значений этой функции – совокупность чисел х п , п ϵ Ν , называют множеством значений последовательности.

Способы задания последовательности

Словесный

Аналитический

Рекуррентный

Рекуррентный (от лат. слова

recurrens – «возвращающийся»)

Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

• Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
• Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
• Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

Аналитический способ .

• с помощью формулы.

• Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2 n ;
• 2, 4, 6, 8, …, 2п,… .
• Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n 2 ;
• 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .
• Пример 3. Последовательность y = 2 n ;
• 2, 22, 23, 24, ..., 2 n , ... .

Рекуррентный способ.

• Указывается правило, позволяющее вычислить n -й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.

• Пример 1. a 1 = a , an +1= an + d , где a и d – заданные числа. Пусть a 1 =5, d =0,7, тогда последовательность будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
• Пример 2. b 1 = b , b n +1 = bn q , где b и q – заданные числа. Пусть b 1 =23, q =½, тогда последовательность будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Предел числовой последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

: 2, 4, 6, 8, 10, …, 2п ,…;

: 1, , , , , … , …

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатных прямых.

Обратите внимание как ведут себя члены

последовательности.

Замечаем, что члены последовательности у п как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности х п таковой точки не наблюдается.

Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет, поэтому математики придумали следующее…

Определение 1.

Пусть a - точка прямой, а r положительное число. Интервал (a-r, a+r) называют окрестностью точки a ,

а число r радиусом окрестности .

Геометрически это выглядит так:

Например

(-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3.

Теперь можно перейти к определению точки

«сгущения», которую математики назвали

« пределом последовательности ».

Число b называется пределом последовательности { у п } если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут: .

Читают:

стремится к .

Либо пишут: .

Читают: предел последовательности у п при

стремлении п к бесконечности равен b .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся .

1 , то последовательность у n = q n расходится " width="640"

Рассмотрим последовательность :

– гармонический ряд

Если m  N, k  R, то

Если │ q │ , то

Если │ q │ 1 , то последовательность у n = q n

расходится

Свойства пределов

Если , ,

• предел суммы равен сумме пределов:

• предел произведения равен произведению пределов:

• предел частного равен частному пределов:

• постоянный множитель можно вынести за знак

предела:

Примеры:

Горизонтальная асимптота графика

функции

Это равенство означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика последовательности y n = f(n) , то есть графика функции y = f( х ) , х  N

у

у = b

y = f(x)

х

0

Предел функции в точке

Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a ,

если для каждого положительного числа ε , как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ , что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x − a| ,

имеет место неравенство |f(x) − b| .

у

y = f(x)

b

а

0

х

Ковалева Ирина Константиновна

Непрерывность функции в точке

Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке

x = a , если выполняется условие

Примеры:

Понятие непрерывности функции

На рисунке изображен график функции, состоящий из двух «кусков». Каждый из них может быть нарисован без отрыва от бумаги. Однако эти «куски» не соединены непрерывно в точке х =1.

Поэтому все значения х, кроме х =1, называют точками непрерывности функции у = f (х), а точку х =1 – точкой разрыва этой функции.