Презентация "Рациональные неравенства"

Рациональные неравенства

Содержание

• Рациональные неравенства
• Системы неравенств с одним неизвестным
• Неравенства с параметром

Рациональные неравенства

Определение . Пусть А и В многочлены от одной и той же переменной. Неравенства вида

называются рациональными .

0 . Ответ: . - - + + -3 1 2,5 х " width="640"

Рациональные неравенства

Теорема . Пусть А и В многочлены от одной и той же переменной х . Тогда неравенства

равносильны.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение . По теореме данное неравенство равносильно неравенству (х – 1)(х + 3)(2х – 5) 0 .

Ответ: .

-

-

+

+

-3 1 2,5 х

0 . х 1 = 1, х 2 = -3 . Ответ: . или или - - + + -3 1 2,5 х " width="640"

Рациональные неравенства

Пример 2.

Решить неравенство .

Решение . По определению нестрогого неравенства данное неравенство равносильно

(х – 1)(х + 3)(2х – 5) 0 . х 1 = 1, х 2 = -3 .

Ответ: .

или

или

-

-

+

+

-3 1 2,5 х

Рациональные неравенства

Пример 3.

Решить неравенство .

Решение . Рассмотрим функцию .

Ее область определения: х ≠ 0 и х ≠ 2 .

Нули функции: х 1 = -3 , х 2 = 3,5 .

Ответ: .

-

-

-

+

+

-3 0 2 3,5 х

3; 3x 2 – 4x – 15 |x| 3. " width="640"

Системы неравенств с одним неизвестным

Определение . Система неравенств с одной переменной – совокупность нескольких неравенств с одной и той же переменной.

2х ≥ 5, 2x – 1 2x ≥ 5,

3х – 1 |x| 3; 3x 2 – 4x – 15

|x| 3.

Решение системы неравенств с одним неизвестным

Определение . Значения неизвестного, которые являются решениями каждого неравенства системы, называются решениями этой системы .

Решить систему неравенств

– это значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Равносильные системы неравенств

Определение . Две системы неравенств называются равносильными , если каждое решение первой системы является решением второй системы и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой системы.

-2х ≥ 0,5 , х ≤ -0,25 ,

3х 2 – 4х – 15 (3x + 5)(x – 3)

Равносильные

системы

Схема решения систем неравенств с одним неизвестным

• Решить каждое неравенство системы в отдельности.
• Из полученных решений выбрать общие для всех неравенств.

Пример 1.

2х ≥ 5 , х ≥ 2, 5 ,

3х – 1 ; х .

Ответ: [2,5; 5) .

2 ,5 х

5 х

//////////////////////////////////

2 ,5 5 х

Решение системы неравенств с одним неизвестным

Пример 2.

5(х – 2) + 3х 6, х 2,

23 – 7х ≤ 3 – 2х; х ≥ 4.

Ответ: нет решений.

2 х

4 х

4 х

2

3; -3 Ответ: [2,5; 3) . /////////////// -3/5 -3 2,5 3 x " width="640"

Решение системы неравенств с одним неизвестным

Пример 3. 2x ≥ 5, х ≥ 2, 5,

3x 2 – 4x – 15

|x| 3; -3

Ответ: [2,5; 3) .

///////////////

-3/5

-3 2,5 3 x

Решение неравенств с параметром

Решить неравенство с параметром – это значит указать значения параметра, при которых неравенство имеет решения, и для этих значений параметра найти множество его решений, а так же указать, при каких значениях параметра решений нет.

0 , т. е. , то данное неравенство равносильно неравенству Ответ : если m = ± 1 , то х = 0 ; если , то решений нет ; если , то " width="640"

Решение неравенств с параметром

Пример .

Решить неравенство с параметром m х 2 ≤ m 2 – 1 .

Решение .

Если m 2 – 1 = 0 , т. е. m = -1 или m = 1 , то данное неравенство равносильно неравенству х 2 ≤ 0 х = 0 .

Если m 2 – 1 0 , т. е. , то данное неравенство решений не имеет .

Если m 2 – 1 0 , т. е. , то данное неравенство равносильно неравенству

Ответ : если m = ± 1 , то х = 0 ;

если , то решений нет ;

если , то