Презентация решения тригонометрических неравенств

Повторим значения синуса косинуса

у π /2 90°

120° 2 π /3 1 π /3 60°

135° 3 π /4 π /4 45°

150° 5 π /6 1/2 π /6 30°

180° π -1 0 1 0 0° x

- - - 1/2 ½ 2 π 360 (cost)

210° 7 π /6 - 1/2 11 π /6 330° [- π /6]

-

225° 5 π /4 - 7 π /4 315° [- π /4]

240° 4 π /3 -1 5 π /3 300° [- π /3]

270° 3 π /2 [- π /2]

(sint)

Арксинус

Примеры:

Арксинусом числа а называется

такое число (угол) t из [- π/2 ; π/2 ] ,

что sin t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

у

π/2

1

arcsin а = t

а

х

- а

arcsin( - а )

arcsin( - а )= - arcsin а

-1

- π/2

Арккосинус

Арккосинусом числа а называется

такое число (угол) t из [0; π ], что

cos t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

у

π/2

arccos а = t

arccos( - а )

х

0

π

arccos( - а ) = π - arccos а

-1

1

а

-а

Примеры:

= π

1) arccos(-1)

При каких значениях х имеет смысл выражение:

1. arcsin(2x+1)

2.arccos(5-2x)

1) -1≤ 2х-1 ≤1

-2≤ 2х ≤0

-1≤ х ≤0

Ответ: [-1;0]

2) -1≤ 5-2х ≤1

-6≤ -2х ≤ -4

2≤ х ≤3

Ответ: [2;3]

3.arccos(x²-1)

4.arcsin(4x²-3x)

-1≤ х²-1 ≤ 1

0 ≤ х² ≤2

Ответ:

Повторим значения тангенса и котангенса

Линия тангенсов tg t Є R , но t ‡ + π k , k Є Z

у π /2

2 π /3 π /3 1

5 π /6 π /4

π /6 ctg t Є R, но t ‡ 0 + π k , k Є Z

0 х Линия котангенсов

у

4 π /3

- π /2

π 0 х

Арктангенс

а

у

Арктангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (- π/2;π/2 ),

что tg t = а .

Причём, а Є R .

π/2

arctg а = t

х

0

arctg( - а ) = - arctg а

arctg( - а )

- π/2

- а

Примеры:

2) arctg(-1) =

- π/4

1) arctg√3/3 =

π/6

Арккотангенс

у

Арккотангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (0; π ),

что c tg t = а .

Причём, а Є R .

- а

а

arcctg а = t

arcctg( - а )

π

0

х

arcctg( - а ) = π – arcctg а

Примеры:

1) arcctg(-1) =

3 π/4

2) arcctg√3 =

π/6

Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1 .cost = а , где | а| ≤ 1

2.sint = а , где | а |≤ 1

3. tgt = а, а Є R

t = arctg а + π k‚ k Є Z

или

или

Частные случаи

Частные случаи

4. ctgt = а, а Є R

1) sint=0

t = 0+ π k‚ k Є Z

1) cost=0

t = π/2+π k‚ k Є Z

t = arcctg а + π k‚ k Є Z

2) cost=1

t = 0+2 π k‚ k Є Z

2) sint=1

t = π/2+2π k‚ k Є Z

3) cost = -1

t = π+2π k‚ k Є Z

3) sint = - 1

t = - π/2+2π k‚ k Є Z

Примеры:

1) cost= - ½;

2) sint = 0;

t= ±arccos(-1/2)+2 π k, k Є Z

t= ±2 π /3+2 π k, k Є Z

Частный случай:

t = 0+ π k, k Є Z

3) tgt = 1;

t = arctg1+ π k, k Є Z

t = π /4+ π k, k Є Z.

t = arcctg( )+ π k, k Є Z

t = 5 π /6+ π k, k Є Z.

У= х 1 " width="640"

у

sin x

У=

х

1

у

У=

х

1

у

У=

х

1

у

У=

х

1

у

sin x

У=

х

1

у

1

х

у

1

х

у

1

х

у

1

х

у

1

х

а а arcsin а -( π + arcsin а ) x x а -arccos а Ответ: (-( π + arcsin а )+2 π k; arcsin а +2 π k), k Є Z Ответ: (- arccos а +2 π k; arccos а + 2 π k), k Є Z а y π/2 y 4) ctgt а 3) tgt - а arcctg а 0 x x -arctg а - а Ответ: (0+ π k; arcctg а + π k), k Є Z. Ответ: (- arctg а + π k; π/2 + π k), k Є Z " width="640"

Простые тригонометрические неравенства

y

y

arccos а

2) sint а

1) cost а

а

arcsin а

-( π + arcsin а )

x

x

а

-arccos а

Ответ: (-( π + arcsin а )+2 π k; arcsin а +2 π k), k Є Z

Ответ: (- arccos а +2 π k; arccos а + 2 π k), k Є Z

а

y

π/2

y

4) ctgt а

3) tgt - а

arcctg а

0

x

x

-arctg а

- а

Ответ: (0+ π k; arcctg а + π k), k Є Z.

Ответ: (- arctg а + π k; π/2 + π k), k Є Z