Системы счисления
Преподаватель: Денисов Р.А.,
ОГПОУ Ивановский педколледж,
г. Иваново
"Все есть число", — говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.
Способ кодирования зависит от цели, ради которой оно осуществляется: сокращение записи, засекречивание (шифровка) информации, удобство обработки и т.п.
Системы счисления
ЕДИНИЧНАЯ
РИМСКАЯ
ВАВИЛОНСКАЯ
АЛФАВИТНЫЕ СИСТЕМЫ
ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ
ИНДИЙСКАЯ
Римская система счисления
Записать число 444 в римской системе счисления
444
400+40+4
(L – X)
( D – C)
(V – I)
Группы второго вида
CDXLIV
И ещё…
Записать число 1986 в римской системе счисления
1986
1000 + 900 + 50 + 30 + 6
M +
(M – C) +
L +
(X + X + X )+
V + I
Группа второго вида
Группа первого вида
MCMLXXXVI
Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций.
Итак, двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.
Пример 1.1. Двоичная система счисления .
Основание: q=2.
Алфавит: 0, 1
Запись двоичного числа 1001,1 в развернутом виде:
1001,1 2 =1·2 3 +0·2 2 +0·2 1 +1·2 0 +1·2 -1
Пример 1.2. Восьмеричная система счисления.
Основание: q=8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Запись восьмеричного числа 7764,1в развернутом виде :
7764,1 8 =7·8 3 +7·8 2 +6·8 1 +4·8 0 +1·8 -1
Пример 1.3. Шестнадцатеричная система счисления.
Основание: q=16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Таким образом, запись 3АF 16 означает:
3АF 16 = 3·16 2 +10·16 1 +15·16 0
Ответьте на вопросы:
- Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах: 6789, 3650, 16, 69.
- Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111?
- Запишите в свернутой форме следующие числа:
а) А 10 = 9·10 1 +1·10 0 +5·10 -1 +3·10 -2 ; б) А 16 =А·16 1 +1·16 0 +7·16 -1 +5·16 -2 .
- Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:
а) А 10 =А,234; б) А 8 =-5678; в) А 16 =456,46; г) А 2 =22,2.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную
А 10
Представить число в развернутой форме
Ответьте на вопросы:
- Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?
- Чему равен десятичный эквивалент чисел 10101,11 2 101,1 8 1АВС, 1 16 ?
- Какое из чисел 110011 2 , 111 4 , 35 8 и 1В 16 является: а) наибольшим;
б) наименьшим.
Ответьте на вопросы
- В классе 1111 2 девочек и 1100 2 мальчиков. Сколько учеников в классе?
- Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:
а) [101101 2 ; 110000 2 ]; б) [14 8 ; 20 8 ]; в) [28 16 ; 30 16 ].
- «Несерьезные» вопросы Когда 2*2=100? Когда 6*6=44? Когда 4*4=20?
Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую
- А 2 А 8 А 16
- А 2 А 8 А 16
- А 2 А 8 А 16
- А 2 А 8 А 16
- А 2
- А 8
- А 16
Для целой части числа: Надо делить на основание той системы счисления, в которую переводишь
:2
А 10
:8
:16
Для дробной части числа: умножать данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления
Переводите!!!
- 18,34 10 =А 2
- 124,26 10 =А 16
- 34,5 10 =А 8
Запишем начало натурального ряда чисел в десятичной и двоичной системах счисления:
А 10
А 2
0
000
1
А 10
2
001
8
А 2
010
1000
9
3
1001
10
011
4
1010
100
11
5
6
1011
12
101
110
1100
13
7
1101
14
111
1110
15
1111
A 2 A 8
А 2 А 16
Осуществляется по таблице
Двоичная система счисления
?
Почему 1+1=10
+
0 1
0
1
0 1
1 2 ? Или ?
Подсказка:
В десятичной системе счисления - 9+1=10
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Оглядывали мир привычно.
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.
Ей было 1100 лет.
Она в 101 класс ходила.
В портфеле по 100 книг носила.
Все это правда, а не бред.
Когда пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий,
«Загадочная автобиография». В бумагах одного чудака математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими удивительными словами:
«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т.д. Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?
двоичная
восьмеричная
101010
десятичная
шестнадцатеричная
127
269
9 B