Презентация "Тригонометрические функции"

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области «МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Сергиево-Посадский филиал

Раздел 6. Основы тригонометрии.

Тема 6.9 Тригонометрические функции

Подготовила преподаватель математики

Крылова И.К .

Методическая цель изучить:

1. Определение функций у=sinx, y=cosх. Свойства функций у=sinx, y=cosх.

2. Построение графиков функций.

3. Применение свойств и графиков функций при решении прикладных задач.

1. Определение функций у=sinx, y=cosх. Свойства функций у=sinx, y=cosх.

Определение 1. Функция (или Функциональная зависимость) – это зависимость переменной y от переменной x. Это такая зависимость, при которой каждому значению переменной x соответствует только одно значение переменной y .

Определение 2. График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Определение 3. Функция называется периодической с периодом T ≠ 0, если для каждой точки x из её области определения точки x + T и x - T также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство:

f(x) = f(x + T) = f(x - T)

Т.е. функция, повторяющая свои значения после добавления к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Определение 4. Непрерывная функция — функция, значения которой мало изменяются при малых изменениях аргумента. 

Определение 5. Функции y = sinx, у = cosx у= tgx, y=ctgх называются тригонометрическими .

Рассмотрим функцию y = sinx, ее свойства и график

Обсудим построение графиков функций синуса и косинуса.

Сначала построим график функции синуса на отрезке [0; 2π]:

1) Отметим на оси ординат точки (0; -1) и (0; 1);

2) на оси абсцисс - точку (2π; 0);

3) разделим отрезок [0; 2π] и единичную окружность на 8 равных частей (учтите, что длина отрезка [0; 2π] равна 2π ≈ 6,28).

Каждая такая часть равна π/4. Для построения точки графика с абсциссой t используем определение синуса. Отметим точку Рt на единичной окружности и проведем через Рt прямую, параллельную оси абсцисс. Точка пересечения этой прямой и прямой х = t искомая, так как ее ордината совпадает с ординатой точки Рt и по определению sint равен ординате точки Рt.

Рассмотрим функцию y = sinx, ее свойства и график

4) на рисунке построили восемь точек графика;

5) соединяя их плавной кривой, получаем эскиз графика синуса на отрезке [0; 2π].

Рассмотрим функцию y = sinx, ее свойства и график

Для построения графика функции вне этого отрезка учтем периодичность функции синуса, т. е. sin(х + 2πn) = sinх (где n - произвольное целое число). Поэтому во всех точках х 0 + 2πn (где 0

Определение 5. График функции синуса называется синусоидой .

Определение 6. Отрезок [-1; 1] оси ординат, с помощью которого находили значения синуса, иногда называют линией синусов.

Используя график, приведем основные свойства функции у = sinх:

1. Область определения D(y) = (-∞; +∞). Надо запомнить!

  2. Область значений Е(у) = [-1; 1].

7. Функция непрерывная.

  8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = 2π, т.е. у (х + 2πk) = y(x).

1) растягивает исходный график вдоль оси ординат (от оси Ох) вдвое. Амплитуда колебаний при этом возрастает в два раза. При этом наименьший положительный период Т= 2π не меняется. " width="640"

2. Построение графиков тригонометрических функций.

1) Построение графика функции у = А sin x

Пример 1. Построить график функции у = 2sinx

Решение: преобразование

(относится к преобразованию вида

при А1) растягивает исходный график вдоль оси ординат (от оси Ох) вдвое. Амплитуда колебаний при этом возрастает в два раза. При этом наименьший положительный период Т= 2π не меняется.

Пример 2. Построить график функции у = 0,5sinx

Решение: преобразование

(относится к преобразованию вида

при 0 . Оно сжимает график функции y = f(x) вдоль оси ординат (к оси Ох).

Амплитуда колебаний при этом возрастает в два раза. При этом наименьший положительный период Т=2π не меняется.

2) Построение графика функции у = sin kx

Утверждение: если функция f(x) периодическая и имеет наименьший положительный период Т, то функция y=Аf(кx+в), где А, к, в постоянны, также периодична, причем ее наименьший период равен Т / I k I .

Пример 4. Построим график функции у = sin ( ½ x )

Решение: Преобразование получается из графика функции у = sin x путем растяжения вдоль оси абсцисс (от оси Оу) вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается . Рассмотрим чертежи данных графиков

•  

0 Пример 5. Построим график функции у = sin (x – π/3) " width="640"

3) Построение графика функции у = sin (x + а)

График функции у = sin (x + а) получается из графика функции у = sin x сдвигом по оси абсцисс вправо , если а а 0

Пример 5. Построим график функции у = sin (x – π/3)

4) Построение графика функции у = s in (-x)

График функции у = sin(-x) получается из графика функции у = sin x симметричным (зеркальным) отражением графика относительно оси ординат (Оу).

0 и вниз, если а Пример 6. Построим график функции у = sin x - 2 " width="640"

5) Построение графика функции у = sin x+а

График функции у = sin x + а получается из графика функции у = sin x сдвигом вдоль оси ординат вверх, если а 0 и вниз, если а

Пример 6. Построим график функции у = sin x - 2

Рассмотрим функцию y = cosx, ее свойства и график .

Перечислим основные свойства функции у = cosx:

1. Область определения D(y) = (-∞; +∞).

2. Область значений Е(у) = [-1; 1].

3. Функция четная (т. е. y(-х) = y( х)), и ее график симметричен относительно оси ординат.

4. Функция возрастает на отрезках вида [-π+2πk;2πk] и убывает на отрезках вида [2πk; π+2πk], где k ∈ Z.

5. Функция ограничена, т. е. -1 ≤ y(х ) ≤ 1.

6. Наименьшее значение функции у наим = -1 (достигается в точках вида х = π + 2πk) и наибольшее значение у наиб = 1 (достигается в точках вида х = 2πk).

7. Функция непрерывная.

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т= 2π,

у(х + 2πk) = у(х).

Рассмотрим функцию y = cosx, ее свойства и график.

Для построения графика функции косинуса учтем формулу приведения

. Поэтому значение косинуса в любой точке x 0

равно значению синуса в точке . Тогда график косинуса получается из

графика синуса с помощью параллельного переноса на единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому график функции у = cosх также является синусоидой.

0 Пример 8. Построим график функции y = cos (x + π/3) " width="640"

6) Построение графика функции у = А cos x

Пример 7. Построим график функции y = 2 cos x

Так как А = 2, то из графика функции y = cos x получается график функции y = 2 cos x путем растяжения вдоль оси ординат вдвое (от оси Ох).

7) Построение графика функции у = cos (x + а)

График функции у = cos (x + а) получается из графика функции у = sin x сдвигом по оси абсцисс вправо , если, а а 0

Пример 8. Построим график функции

y = cos (x + π/3)

0 и вниз, если, а " width="640"

8) Построение графика функции у = - cosx

График функции у = -cosx получается из графика функции у = cosx симметричным (зеркальным) отражением графика относительно оси абсцисс (Ох) .

9) Построение графика функции у = cosx + а

График функции у = cosx + а получается из графика функции у = cosx сдвигом вдоль оси ординат вверх, если, а 0 и вниз, если, а

3. Применение свойств и графиков функций при решении прикладных задач.

Пример 1. Найдем область определения и область значений функций:

Найдем область определения и область значений функции

Пример 2. Установим четность или нечетность функции:

Для функций а) – в) область определения D(y) = R - симметричное множество. Для этих функций найдем у(-х).

Домашнее задание.

V. Домашнее задание:

1) изучите лекционный материал;

2) выучите формулы по изученному материалу;

3) Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы – 19-е изд. – М.: Просвещение. стр.201-204;

4) выполните в тетради письменно решение упражнений:

стр.203 №691, №692 (1-3), №700 (1; 2; 5)