Презентация. Тригонометрическая функция.

План занятия

• Виды тригонометрических функций

• Определения тригонометрических функций
• Графики тригонометрических функций
• Свойства тригонометрических функций
• Преобразование графиков тригонометрических функций

Виды тригонометрических функций

y=cosx

y=ctgx

y=sinx

y=tgx

Определения

Определение 1. Числовые функции, заданные формулами y=cosx и y=sinx , называют соответственно косинусом и синусом.

Определение 2. Числовые функции, заданные формулами y=tgx и y=ctgx , называют соответственно тангенсом и котангенсом.

y=cos x

2 π

π

0

0

0

1

1

1

y=sin x

2 π

π

0

0

0

1

1

0

y=tg x

0

π

2 π

0

0

-

-

0

y=ctg x

0

π

2 π

-

-

0

0

-

Свойства тригонометрических функций

у= cos x

у= sin x

1. Область определения функции

D(y)=

(-∞;+∞)

D(y)=

(-∞;+∞)

2. Область значения функции

Е (y)=

[-1;1]

[-1;1]

Е (y)=

Свойства тригонометрических функций

у= cos x

у= sin x

3 . Четность функции

Функция нечетная,

т.к. график симметричен относительно начала координат

Функция четная,

т.к. график симметричен относительно оси Ох

Значит, справедливо равенство:

Значит, справедливо равенство:

cos (-x)=cos x

sin (-x)=-sin x

Свойства тригонометрических функций

у= cos x

у= sin x

4. Периодичность функции

Функция периодическая,

Функция периодическая,

основной период функции равен 2 π .

основной период функции равен 2 π .

Значит, справедливо равенство:

Значит, справедливо равенство:

cos (x +2 π )=cos x

sin (x +2 π )=sin x

Свойства тригонометрических функций

у= cos x

у= sin x

5 . Нули функции

Oy :

Oy :

x=0, при

y= 1

y=0

x=0, при

O х :

O х :

Рассмотрим функцию на промежутке [0;2 π ]:

Рассмотрим функцию на промежутке [0;2 π ]:

у = 0 , при

у = 0 , при

Свойства тригонометрических функций

у= cos x

у= sin x

6. Промежутки монотонности

Функция возрастает:

Функция возрастает:

Функция убывает:

Функция убывает:

Свойства тригонометрических функций

у= tg x

у= ctg x

1. Область определения функции

D(y)=

D(y)=

2. Область значения функции

Е (y)=

[-∞;+∞]

Е (y)=

[-∞;+∞]

Свойства тригонометрических функций

у= tg x

у= ctg x

3 . Четность функции

Функция нечетная,

т.к. график симметричен относительно начала координат

Функция нечетная,

т.к. график симметричен относительно начала координат

Значит, справедливо равенство:

Значит, справедливо равенство:

tg (-x)=-tg x

ctg (-x)=-ctg x

Свойства тригонометрических функций

у= tg x

у= ctg x

4. Периодичность функции

Функция периодическая,

Функция периодическая,

основной период функции равен π .

основной период функции равен π .

Значит, справедливо равенство:

Значит, справедливо равенство:

tg (x + π )=tg x

ctg (x + π )=ctg x

Свойства тригонометрических функций

у= tg x

у= ctg x

5 . Нули функции

Oy :

Oy :

x=0, при

y=0

нет

O х :

O х :

Рассмотрим функцию на промежутке [ - π /2; π /2]:

Рассмотрим функцию на промежутке [ - π /2; π /2]:

у = 0 , при

у = 0 , при

Свойства тригонометрических функций

у= cos x

у= sin x

6. Промежутки монотонности

Функция возрастает:

Функция возрастает:

Функция убывает:

Функция убывает: