Россия, Оренбург
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 20.02.2024 07:36
Иманова Людмила Алексеевна
учитель математики
65 лет
2 857
16 770 
Местоположение
Специализация
Презентация урока по теме "Теорема о трёх перпендикулярах"
Категория:
Математика
02.11.2018 09:34
Просмотр содержимого документа
«Презентация урока по теме "Теорема о трёх перпендикулярах"»
«Теорема о трёх перпендикулярах»
Урок геометрии 10 класс.
Формы работы: групповая, фронтальная, индивидуальная
Выполнила:
Иманова Людмила Алексеевна
учитель математики МОБУ «Лицей № 9»
г.Оренбург
2018г
Цели урока:
- Образовательная: доказать теорему о трех перпендикулярах, используя разные способы; научить применять ее при решении задач.
- Развивающая: развитие самостоятельности, дифференцированного подхода к заданиям, развитие графических навыков, умение применять свои знания на практике.
- Воспитательная: воспитание умения работать в парах, группах
1.Дайте определение перпендикулярных прямых
Ответ: прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости»
Ответ: да.
3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Ответ: если пряма перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
5. По рисунку назовите:
перпендикуляр,
основание перпендикуляра,
наклонную к плоскости α,
основание наклонной
и её проекцию на
плоскость α.
4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
Ответ: как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой.
6. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.
P
D
K
Теорема:
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной
- Обратно: прямая, проведённая в плоскости чере основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и самой наклонной.
Доказательство :
- Дано: α , АС – наклонная,
- ВС – проекция, ВС ┴ с , АВ ┴ α .
- Доказать: АС ┴ с.
- Доказательство.
- 1.Проведем СА1 ┴ с .
- 2. СА1 || АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны ).
- 3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β.
- 4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теореме: « Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости ».),с ┴ β , значит,
- с ┴АС.
А
А1
В
С
с
α
SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: OA 2 =SA 2 - SO 2 , OB 2 = SB 2 - SO 2 Получаем: ОАOB. Между тем ОА S В А О С t " width="640"
Доказательство методом от противного
Доказательство :
Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем SB ┴ t, тогда SA SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: OA 2 =SA 2 - SO 2 , OB 2 = SB 2 - SO 2
- Получаем: ОАOB. Между тем ОА
S
В
А
О
С
t
Доказательство на основе свойств равнобедренного треугольника
Доказательство:
- От точки А отложим равные отрезки: АМ= АN.
- Точки М и N соединим с точками O и S.
- В треугольнике MNO ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN.
- Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN.
- Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.
S
M
O
A
t
N
Доказательство на основе теоремы Пифагора
Доказательство:
- На прямой t возьмем произвольную точку В и соединим ее с точками О и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB:
- SВ 2 = SO 2 + OB 2 ,(1)
- SA 2 = SO 2 + OA 2 ,(2) OB 2 - OA 2 =AB 2 . Вычтя из первого равенства второе, получим:
- SB 2 – SA 2 = OB 2 – OA 2 . Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB 2 – SA 2 = AB 2 , SB 2 = SA 2 +AB 2 . Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.
S
O
B
A
t
Доказательство на основе векторного метода
Доказательство:
Зададим векторы MN,OA,SO, SA
Умножим обе части на
Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю:
- Но и не нулевые векторы, значит, , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.
S
N
A
O
M
α
Устно:
2.
D
- Дано: А =30 º, АВС = 60 º, DB .
- Доказать, что CD AC
В
D
А
С
В
Дано : BAC=40º, ACВ=50º, АD
Докажите, что СВ BD
А
С
Работа в группах
- Дано : АD (АВС), Δ АВС- равнобедренный,
- АВ=АС= 5см, ВС = 6 см, АD = 12 см.
- Найти : ρ (А, ВС), ρ (D, ВС)
- Решение:
- 1) Δ АВС- равнобедренный,
- АМ – медиана и высота →
- ρ (А, ВС) = АМ = 4см
- 2) АМ – проекция, DМ - наклонная, АМ BC → DМ BC → ρ (D, ВС) = DМ =4√10 см
- Ответ: 4 см, 4√10 см.
D
В
А
М
С
Самостоятельно:
I уровень.(на «3»)
Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана.
Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС)).
II уровень ( на «4»)
Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см.
Найти: расстояние от точки К до (АВС).
III уровень.( на «5»)
Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС),
АМ = 20 см.
- Найти: МЕ.
Домашнее задание
- пп 19, 20..
- № 140, 143, 145.
- Дополнительная задача: Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость α. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если площадь ромба равна 80, высота – 8 , а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45 градусов.
Спасибо за урок !
- Досвидания
В оформлении фона использованы интернет-ресурсы:
- http://im0-tub.yandex.net/i?id=296115382-43-72
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
