СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 21.07.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Презентация "Возрастание и убывание функции" 11 класс

Категория: Алгебра

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация "Возрастание и убывание функции", 11 класс

Просмотр содержимого документа
«Презентация "Возрастание и убывание функции" 11 класс»

             ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА № 1 Г.О. ЕНАКИЕВО»   Тема урока:  «Возрастание и убывание функции»   11 класс   Учитель математики Фоменко Н.Г.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА № 1 Г.О. ЕНАКИЕВО» Тема урока: «Возрастание и убывание функции» 11 класс Учитель математики Фоменко Н.Г.

Немного повторения Понятия возрастающей и убывающей функций. Понятие монотонности функции.

Немного повторения

  • Понятия возрастающей и убывающей функций.
  • Понятие монотонности функции.
х 1 следует неравенство f(х 2 ) f(х 1 ). х 1 х 2 х f (х 1 ) " width="640"

Возрастающая функция

у = f (х)

у

f (х 2 )

Функция f(х) называется возрастающей

на некотором интервале,

если для любых х 1 и х 2 из этого интервала, таких, что

х 2 х 1

следует неравенство

f(х 2 ) f(х 1 ).

х 1

х 2

х

f (х 1 )

х 1 следует неравенство f(х 2 ) f(х 1 ). f (х 1 ) х 1 х 2 х " width="640"

Убывающая функция

у

у = f (х)

f (х 1 )

Функция f(х) называется убывающей

на некотором интервале,

если для любых х 1 и х 2 из этого интервала, таких, что

х 2 х 1

следует неравенство

f(х 2 ) f(х 1 ).

f (х 1 )

х 1

х 2

х

 Возрастающие и убывающие функции  называются монотонными функциями.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Способы исследования функций на монотонность   Способ 1. По определению возрастающей (убывающей) функции. Способ 2. По графику функции.

Способы исследования функций на монотонность

Способ 1. По определению возрастающей (убывающей) функции.

Способ 2. По графику функции.

x 1 , тогда f(x 2 ) - f(x 1 ) = 1/ x 2 – 1/ x 1 = ( х 1 –х 2 )/ х 2 х 1 , значит данная функция убывает на каждом из двух промежутков своей области определения. " width="640"

Пример №1. Исследуйте функцию f(x)= 1/х на

монотонность.

Решение.

D(f) : х ≠ 0

Пусть х 2 и x 1 - произвольные точки из D(f) такие, что х 2 x 1 , тогда f(x 2 ) - f(x 1 ) = 1/ x 2 – 1/ x 1 = ( х 1 –х 2 )/ х 2 х 1 , значит данная функция убывает на каждом из двух промежутков своей области определения.

Пример №2.  По графику функции y=f(x) ответьте на вопросы: Сколько промежутков возрастания у этой функции? Назовите наименьший из промежутков убывания этой функции.

Пример №2.

По графику функции y=f(x) ответьте на вопросы:

  • Сколько промежутков возрастания у этой функции?
  • Назовите наименьший из промежутков убывания этой функции.
Пример №3. (задание В 8 из тестов ЕГЭ по математике) По графику функции y=f´(x) ответьте на вопросы: Сколько промежутков возрастания у функции f(x)? Найдите длину промежутка убывания этой функции.

Пример №3. (задание В 8 из тестов ЕГЭ по математике)

По графику функции y=f´(x) ответьте на вопросы:

  • Сколько промежутков возрастания у функции f(x)?
  • Найдите длину промежутка убывания этой функции.
Наши цели 1. Найти связь между производной и свойством монотонности функции. 2. Создать алгоритм поиска промежутков монотонности функции с помощью производной.

Наши цели

1. Найти связь между производной и свойством монотонности функции.

2. Создать алгоритм поиска промежутков монотонности функции с помощью производной.

0 на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если f / (x) " width="640"

Гипотеза

  • Если f / (x) 0 на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале.
  • Если f / (x)
Достаточный признак возрастания(убывания) функции    

Достаточный признак возрастания(убывания) функции

  •  
  •  
 0 (график расположен выше оси Х) 3.2. f ’(x)  4. Определить промежутки монотонности. 4.1. Если f ’(x)  0 , то функция возрастает на данном промежутке. 4.2. Если   f ’(x)  " width="640"

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: На рисунке изображен график производной функции f(x), непрерывной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x).

1. Выделяем отрезок [−10; 4], на котором функция непрерывна.

2. Отмечаем нули производной, т.е.точки в которых f ’ (x) = 0 (точки пересечения с осью Х).

3. Определяем знак производной на каждом промежутке:

3.1. f ’(x)  0 (график расположен выше оси Х)

3.2. f ’(x) 

4. Определить промежутки монотонности.

4.1. Если f ’(x)  0 , то функция возрастает на данном промежутке.

4.2. Если   f ’(x) 

РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ЗАДАЧУ: На рисунке изображен график производной функции f(x), непрерывной на отрезке [−4; 6]. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x). Функция у = f(х) убывает при х є [-4;-2) ; (2; 6] Функция у = f(х) возрастает при х є (-2;2)

РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ЗАДАЧУ: На рисунке изображен график производной функции f(x), непрерывной на отрезке [−4; 6]. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x).

Функция у = f(х) убывает при х є [-4;-2) ; (2; 6]

Функция у = f(х) возрастает при х є (-2;2)

№ 1. Непрерывная функция y=f(x) задана на [-10;11]. На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания функции.

№ 1. Непрерывная функция y=f(x) задана на [-10;11]. На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания функции.

№ 2. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-10;6). На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков убывания функции.

№ 2. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-10;6). На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков убывания функции.

№ 3. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-6;8). На рисунке изображён график её производной. Укажите длину промежутка убывания этой функции.

№ 3. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-6;8). На рисунке изображён график её производной. Укажите длину промежутка убывания этой функции.

№ 4. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-4;10). На рисунке изображён график её производной. Опишите последовательно типы монотонностей функции

№ 4. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-4;10). На рисунке изображён график её производной. Опишите последовательно типы монотонностей функции

№ 5. По графику функции y=f´(x) ответьте на вопросы: Сколько промежутков возрастания у этой функции? Найдите длину промежутка убывания этой функции.

№ 5. По графику функции y=f´(x) ответьте на вопросы:

  • Сколько промежутков возрастания у этой функции?
  • Найдите длину промежутка убывания этой функции.
0 и f / (x) 4. Сделать выводы о монотонности функции. " width="640"

Алгоритм

1. Указать область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Определить промежутки, в которых

f / (x) 0 и f / (x)

4. Сделать выводы о монотонности

функции.

0, если 4х 3  - 4х 0, х 3  - х 0, х(х-1)(х+1)0 f / (x): - + - + -1 0 1 х f(х): 4. Функция убывает на промежутках (-∞;-1) ] и [ (0; 1) ] . Функция возрастает на промежутках [ (-1; 0) ] и [ (1; + ∞) ] " width="640"

Образец решения по алгоритму

f(х) = х 4  - 2х 2  ,

1. D(f) = R

2. f / (x) = 4х 3  - 4х,

3. f / (x)0, если 4х 3  - 4х 0, х 3  - х 0, х(х-1)(х+1)0

f / (x): - + - +

-1 0 1 х

f(х):

4. Функция убывает на промежутках (-∞;-1) ] и [ (0; 1) ] .

Функция возрастает на промежутках [ (-1; 0) ] и [ (1; + ∞) ]

Домашнее задание: §49, стр. 257 (Выучить формулировки теорем и алгоритм исследования функции на монотонность) , Решать: №№ 900(1,2,4), 902(3), 903(2),956(1,4). Дополнительно: №№ 904,905.

Домашнее задание:

  • §49, стр. 257 (Выучить формулировки теорем и алгоритм исследования функции на монотонность) ,

Решать: №№ 900(1,2,4), 902(3), 903(2),956(1,4).

Дополнительно: №№ 904,905.


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!