Преобразования графиков функций

Преобразования графиков функций

y=f(x)

y=|f(x)|

y=f(|x|)

|y|=f(x)

y=|f(|x|)|

|y|=|f(x)|

Актуальность: Эта тема актуальна, т.к. в конце 11 класса необходимо сдавать единый государственный экзамен по математике, куда будут включены задания, связанные с преобразованием графиков функций.

Нами были проанализированы различные собрания с экзаменационными заданиями.

Вывод: в сборниках КИМ единого государственного экзамена по математике встречаются задания на использование знаний о различных преобразованиях графиков функций.

Цель: Изучение способов построения графиков функций с помощью различных преобразований.

Задачи:

• Исследовать взаимосвязь графика функции y = f ( x ) с графиками функций y =| f ( x )|, y=f(|x|) , y=f(kx), y=kf(x), y= -f(x), y=f(x)+b, y=f(x-a).
• Рассмотреть задания на построение графиков функций с помощью преобразований.
• Попробовать создать рисунок, используя исследуемые функции.
• Узнать, есть ли более профессиональные и эффективные системы для построения графиков в декартовых системах координат кроме E xcel и C alc, которые мы использовали для построения в прошлой работе.
• Выявить в чём преимущества и недостатки этих компьютерных программ.

Рабочая гипотеза : графики сложных функций, можно построить с помощью преобразований графика исходной функции.

Объект – графики функций.

Предмет – построение графиков сложных функций с помощью преобразования графика исходной функции.

Методы исследования: наблюдения, сравнения, анализ, обобщение, прогнозирование, знаковое моделирование.

y= -f( х )

y=f( х )

Симметрия относительно оси «ох»

Сохраняя ту часть, где х ≥0, выполнить её симметрию относительно оси «оу»

y=f(| х |)

y=f( х )

y=f( х )

Сохраняя ту часть, где у ≥0, выполнить симметрию относительно «ох» той части, где у

y = |f( х )|

?

y=cos х y= -cos x

?

y=cos х y=cos |x|

?

y=cos х y=|cos x|

y=cos х

Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

x

0

y

1

0,5

0

-0,5

-1

y=cos х

?

y=cos х y= -cos x

y=cos х

y= -cos x

Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y = - cos x , необходимо выполнить симметрию исходного графика относительно оси «ох».

?

y=cos х y=cos |x|

y=cos х

y=cos |x|

Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y = cos | x |, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где х≥0, и выполнить её симметрию относительно «оу», а это и будет сам график y = cos x .

?

y=cos х y=|cos x|

y=|cos x|

y=cos х

Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y =| cos x |, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где у≥0, и выполнить симметрию относительно «ох» той части, где у

?

y=cos х y=|cos |x||

y=|cos | х ||

y=cos | х |

y=cos х

y=|cos | х ||

y=cos х

y=cos | х |

Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y =| cos | x ||, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где х≥0, и выполнить её симметрию относительно «оу», а затем сохранить ту часть получившеюся графика, где у≥0, и выполнить её симметрию относительно «ох» той части, где у

y=cos х y=cos 3 x

?

y=cos 3 x

График этой функции проходит через точки:

х

у

0

1

0

-1

0

1

0

-1

0

-1

0

1

0

-1

?

y=cos х y=cos 3 x

y=cos х

y=cos 3 x

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y = cos 3 x , необходимо сжать исходный график в 3 раза вдоль «ох».

y=cos х y=cos x /3

?

y=cos x /3

График этой функции проходит через точки:

х

у

0

1

0,5

?

y=cos х y=cos x /3

y=cos x /3

y=cos х

Вывод : Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y = cos x /3, необходимо выполнить растяжение исходного графика в 3 раза вдоль оси «ох».

y=cos х y= 3 cos x

?

y= 3 cos x

График проходит через точки:

х

у

0

3

1,5

0

-1,5

-3

1,5

0

-1,5

-3

?

y=cos х y= 3 cos x

y= 3 cos x

y=cos х

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y =3 cos x , необходимо растянуть исходный график в 3 раза вдоль оси «оу».

y=cos х y=cos ( x +2)

?

y=cos ( x +2)

Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

х

у

0

-0,5

1

-0,5

0

0,5

0

0,5

1

0,5

?

y=cos х y=cos ( x +2)

y=cos ( x +2)

y=cos х

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y = cos ( x +2) , необходимо сдвинуть исходный график вдоль оси «ох» на 2 единицы влево.

y=cos х y=cos x -3

?

y=cos x -3

Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

х

у

0

-2

-2,5

-3

-3,5

-4

-2,5

-3

-3,5

-4

?

y=cos х y=cos x -3

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y = cos x получить график функции y = cos x -3, необходимо сдвинуть исходный график вдоль оси «оу» на 3 единицы вниз.

1 , то сжатие исходного графика в k раз вдоль оси «ох», если 0 y=f(kx) y=f(x) Если k 1 , то растяжение исходного графика в k раз вдоль оси «оу», если 0 y=f(x) y=kf(x) Симметрия исходного графика относительно оси «ох» y= - f(x) y=f(x) Сдвиг вдоль оси «ох», если а ≥0, то на а единиц вправо, если а а единиц влево y=f(x - a) y=f(x) Сдвиг вдоль оси «оу», если b ≥0, то на b единиц вверх, если bb единиц вниз y=f(x) + b y=f(x) " width="640"

Итог:

Сохраняя ту часть исходного графика, где х ≥0, выполнить её симметрию относительно оси «оу»

y=f(x)

y=f(|x|)

Сохраняя ту часть, где у ≥0, выполнить симметрию относительно оси «ох» той части, где у

y=|f(x)|

y=f(x)

Если k 1 , то сжатие исходного графика в k раз вдоль оси «ох», если 0

y=f(kx)

y=f(x)

Если k 1 , то растяжение исходного графика в k раз вдоль оси «оу», если 0

y=f(x)

y=kf(x)

Симметрия исходного графика относительно оси «ох»

y= - f(x)

y=f(x)

Сдвиг вдоль оси «ох», если а ≥0, то на а единиц вправо, если а а единиц влево

y=f(x - a)

y=f(x)

Сдвиг вдоль оси «оу», если b ≥0, то на b единиц вверх, если bb единиц вниз

y=f(x) + b

y=f(x)

Исследование количества корней уравнения:

y=a

1.

Мы знаем, что для того, чтобы из графика функции получить график функции необходимо растянуть исходный график в 4 раза вдоль оси «оу».

Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

х

0

у

1

0,5

0

-0,5

-1

2. у=а – линейная функция.

Графиком является прямая, параллельная оси «ох» и проходящая через точки (2;а) и (0;а).

y=6

y=4

y=4cos x

а) Уравнение 4cos x =a имеет бесконечное множество корней при

б) Уравнение 4cos x =a не имеет корней при

y=1

y=-4

y=-6

Исследование количества корней уравнения:

|cos 2x| =x ²

• y=|cos 2x|

y=cos x y=cos 2x y=|cos 2x |

Мы знаем, что для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=cos 2x , необходимо сжать исходный график в 2 раза вдоль оси «ох», а затем, чтобы получить график функции y=|cos 2x | , необходимо сохранить ту часть графика, где у ≥ 0, и выполнить симметрию относительно оси «ох» той части, где у

y=cos x

Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

y=x² - квадратичная функция.

Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.

(0;0) – вершина параболы.

«оу» - ось симметрии параболы.

y=|cos 2x|

y=x²

х

0

у

1

0,5

0

-0,5

-1

х

0

у

1

0

2

1

3

4

9

-1

-2

1

-3

4

9

y=x ²

Т.к. графики функций y=|cos 2x| и y=x² пересекаются в двух точках, то уравнение |cos 2x| =x ² имеет 2 корня.

y=|cos 2x |

Функции, использованные для построения рисунка

Microsoft Office Excel и Open Office Calc

Wolfram Mathematica

1. Чтобы построить график функции необходимо указать список значений переменной «х», а затем ввести формулу для вычисления переменной «у». Только потом можно строить график.

1. В отличие от других систем Mathematica применяет разумную автоматизацию. То есть достаточно выбрать необходимую команду, ввести функцию и указать её область значений, а затем программа сама построит график.

2. Как следствие из первого пункта, на построение графиков затрачивается большое количество времени. -

2. Исходя из первого пункта, можем сделать вывод, что на построение графиков затрачивается совсем немного времени.

3. Существует один способ построения графиков (мастер диаграмм – график или точечная)

3. Есть несколько способов построения графиков функций ( Plot , ListPlot и т.д.).

4. Чтобы каким-либо образом видоизменить график, необходимо зайти в меню «Диаграмма». Там указаны все возможные способы видоизменений графика.

4. Большинство различных видоизменений графика соответствует определённой опции, наименование которой необходимо знать наизусть или найти в справочном материале.

5. Интерфейс сложнее, чем в Mathematica и занимает большее пространство.

5. Интерфейс пакета значительно упрощён по сравнению с другими программами. Он строится из нескольких базовых понятий: Тетрадь, Ячейка и Палитра.

Поэтому, работая в этой системе, можно убрать всё ненужное и оставить только необходимое.

6. Не возникло трудностей с построением, т.к. всё уже знакомо. + и -

6. При построении графиков у меня возникли трудности, потому что мы впервые столкнулись с этой программой, многое расположено в других местах и метод построения графиков совершенно новый.

и

Но с опытом работы этот способ построения стал доступным и более лёгким.

Заключение

Цель достигнута , мы изучили способы построения графиков функций с помощью различных преобразований.

Задачи выполнены , мы исследовали взаимосвязь графика функции y = f ( x ) с графиками функций y =| f ( x )|, y=f(|x|) , y=f(kx), y=kf(x), y= -f(x), y=f(x)+b, y=f(x-a) ,научились строить эти графики, рассмотрели задания с применением таких функций, построили лицо мушкетёра, используя исследуемые функции, выяснили с помощью каких программных средств кроме Excel и Calc можно строить графики функций, выявили, в чём их преимущества и недостатки.

Теперь мы знаем, что для построения графиков используется не только Microsoft Office Excel и Open Office Calc , но есть и другие программы, не только не уступающие по возможностям этим программам, но и превышающие их, например, Wolfram Mathematica.

Значимость полученных результатов: сейчас нам стало известно, как строить графики сложных функций с помощью преобразований графика исходной функции, и если встретятся задания с применением этих функций, то мы будем знать, как они выполняются.

Использовать эти результаты можно при решении заданий единого государственного экзамена.

Спасибо за внимание!