Презентация «История развития решений квадратных уравнений»

История развития решений квадратных уравнений

«Город – единство не похожих»

Аристотель

«Число выраженное десятичным знаком, прочтет и немец, и русский, и араб, и янки одинаково»

Д.И.Менделеев

Древний Египет

Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12 , а

Рассмотрим эту задачу.

• Пусть х – длина поля, тогда – его ширина,
• – его площадь.
• Составим квадратное уравнение:
• .
• В папирусе дано правило его решения : «Разделим 12 на ».
• 12: .
• Итак, .
• «Длина поля равна 4», - указано в папирусе.

• Древний Вавилон

• Приведенное квадратное уравнение
• +
• где – любые действительные числа .

В одной из вавилонских задач так же требовалось определить длину прямоугольного поля ( обозначим ее ) и его ширину ().

Сложив длину и две ширины прямоугольного поля, получишь 14, а площадь поля 24. Найти его стороны .

Составим систему уравнений:

Отсюда получаем квадратное уравнение .

Для его решения прибавим к выражению некоторое число,

чтобы получить полный квадрат:

7

=0 или

Следовательно, .

Вообще же квадратное уравнение

Имеет два корня:

откуда

Древняя Греция

• ДИОФАНТ
• Древнегреческий математик, живший предположительно в III веке до н. э. Автор «Арифметики» — книги, посвящённой решению алгебраических уравнений.
• В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел. Диофант также одним из первых развивал математические обозначения.

«Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».

Одно из чисел будет больше половины их суммы, то есть 10+, другое же меньше, то есть 10-.

Отсюда уравнение ()()=96

=96

=0.

ДРЕВНЯЯ ИНДИЯ

Приведем одну из задач знаменитого

индийского математика XII века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

• Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
• Соответствующее решение уравнения

• Бхаскара записывает в виде и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляем к обеим частям 32 2 , получая

• и .

СРЕДНЕВЕКОВЫЙ ВОСТОК

«АЛЬ-ДЖЕБР» – ВОССТАНОВЛЕНИЕМ - АЛЬ-ХОРЕЗМИ НАЗЫВАЛ ОПЕРАЦИЮ ИСКЛЮЧЕНИЯ ИЗ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ ПУТЕМ ДОБАВЛЕНИЯ РАВНЫХ ЧЛЕНОВ, НО ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПО ЗНАКУ.

«АЛЬ-МУКАБАЛА» – ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ – СОКРАЩЕНИЕ В ЧАСТЯХ УРАВНЕНИЯ ОДИНАКОВЫХ ЧЛЕНОВ.

ПРАВИЛО «АЛЬ-ДЖЕБР»

ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ

ЕСЛИ В ЧАСТИ ОДНОЙ,

БЕЗРАЗЛИЧНО КАКОЙ,

ВСТРЕТИТСЯ ЧЛЕН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ,

МЫ К ОБЕИМ ЧАСТЯМ

РАВНЫЙ ЧЛЕН ПРИДАДИМ,

ТОЛЬКО С ЗНАКОМ ДРУГИМ,

И НАЙДЕМ РЕЗУЛЬТАТ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ.

1) квадраты равны корням, то есть ;

2)квадраты равны числу, то есть ;

3)корни равны числу, то есть ;

4)квадраты и числа равны корням, т. е. ;

5)квадраты и корни равны числу, т. е. ;

6)корни и числа равны квадратам, т. е. .

Задача . Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень.

Решение . Разделим пополам число корней – получишь 5, умножь 5 на само себя,

от произведения отними 21, останется 4.

Извлеки корень из 4 – получишь 2.

Отними 2 от 5 – получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Фибоначчи родился в итальянском торговом центре городе Пиза, предположительно в 1170-е годы. . В 1192 году он был назначен представлять пизанскую торговую колонию в Северной Африке . По желанию отца, он переехал в Алжир и изучал там математику. В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака» [ . По словам историка математики А. П. Юшкевича Книга абака“ резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII—XIV веков разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения… Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения ».

Знаменитый немецкий математик, протестантский пастор. В 1544 году Штифель первым в Европе сформулировал правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду. Он занимался изучением арифметической и геометрической прогрессий, систематически сравнивал действия над членами обеих сопоставляемых прогрессий и вводил дробные и отрицательные показатели степени. Штифель первым из математиков рассматривал отрицательные числа как числа, меньшие нуля, и одним из первых ввел знак корня с целым показателем, круглые скобки и символы для многих неизвестных. Его идеями пользовался при изобретении логарифмов Джон Непер.

,

1, .

,

1, .

(х+½ -1)(х+½ +1)

Построим график функции

• Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как

2) Координаты вершины параболы

3)

-2

-2

-1

-1

1

-

-

-1

-1

0

0

-

1

1

1

У. Соейр говорил :

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различных задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

«Город – единство не похожих»

Аристотель

«Число выраженное десятичным знаком, прочтет и немец, и русский, и араб, и янки одинаково»

Д.И.Менделеев