Презентация к проекту по математике "Фигуры вращения"

Работу выполнила

Лунина Алина, 11 класс

МБОУ «Мало – Шелемишевская СОШ»

Руководитель Ларионова Е.Ю.

ЦИЛИНДР : от греческого «валик, каток»

Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон.

Основные определения

Основаниями цилиндра называются круги, полученные в результате вращения сторон прямоугольника, смежных со стороной принадлежащей оси вращения.

Образующими цилиндра называются отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов.

O 1

Н

O

R

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

ЦИЛИНДР: ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

• Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
• Образующие цилиндра параллельны и равны.

O 1

• Боковая поверхность цилиндра составлена из образующих.
• Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

O

• Развертка цилиндра представляет собой прямоугольник и два круга

O

5

КОНУС : от греческого «сосновая шишка, остроконечная верхушка шлема»

Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.

5

Основные определения

Основанием конуса называется круг, полученный в результате вращения катета, перпендикулярного стороне, принадлежащей оси вращения.

Вершиной конуса называется точка, не лежащая в плоскости этого круга.

А

Радиусом конуса называется радиус его основания.

Н

Образующими конуса называются отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания.

О

R

В

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

• Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

5

КОНУС: ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

• Конус называется прямым , если прямая соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

А

L

Н

• Образующие прямого конуса равны.

Боковая поверхность составлена из образующих.

О

R

В

А

• Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

L

Развертка конуса представляет собой круговой сектор, радиусом которого является образующая, и круг.

О

R

8

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью , параллельной плоскости основания конуса.

Основные определения

Основаниями усеченного конуса называются основание данного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью .

r

L

Н

Образующими называются отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями усеченного конуса .

R

Радиусами усеченного конуса называются радиусы его оснований.

Высотой называется отрезок , соединяющий центры оснований усеченного конуса.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС : основные свойства

Все образующие усеченного конуса равны между собой.

r

L

Боковой поверхностью усеченного конуса называется часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус.

Н

R

О 1

• Полная поверхность конуса состоит из оснований и боковой поверхности.

r

L

Развертка усеченного конуса представляет собой часть кругового кольца и два круга.

О

R

11

СФЕРА И ШАР (МЯЧ)

Сферой называется поверхность, полученная при вращении полуокружности вокруг её диаметра .

сфера

Шаром называется тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра.

шар

R

D

R

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

• Эта точка называется центром шара, а данное расстояние называется радиусом шара.

• Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

O

R

R

• Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом.

• Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.

Формулы площади поверхности тел вращения

Название тела

Формула площади бок. поверхности

Цилиндр   

Формула площади полной поверхности

Конус  

Усеченный конус  

Шар     

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ» ИЗ ЕГЭ (БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ)

ЗАДАЧА 1. ВЫСОТА КОНУСА РАВНА 12, А РАДИУС ОСНОВАНИЯ РАВЕН 5. НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА. В ОТВЕТЕ ЗАПИШИТЕ S/Π.

P

O

R

A

ЗАДАЧА 2. ВЫСОТА КОНУСА РАВНА 4, А ДИАМЕТР ОСНОВАНИЯ - 6. НАЙДИТЕ ОБРАЗУЮЩУЮ КОНУСА.

Дано:  SO  =  h  = 4,  AC  = 2 r  = 6.  Найти:  SA  =  l  = ?

Решение:

l  2  =  r  2  +  h  2 ; 

r  = 6/2 = 3;  l  2  = 3 2  + 4 2  = 9 + 16 = 25; 

l  2  = 25;

  l  = 5.

Ответ:  5

Задача 3. Высота конуса равна 4, а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса.

Дано: SO  =  h  = 4,  SA  =  l  = 5, 

Найти: AC  = 2 r  = ?  Решение:

l  2  =  r  2  +  h  2 ;  5 2  =  r  2  + 4 2 ; 5 2  − 4 2  =  r  2  или 

r  2  = 5 2  − 4 2  = 25 − 16 = 9;  r  2  = 9; 

r  = 3; 

AC  = 2 r  = 2×3 = 6.

Задача 4. Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей - 5. Найдите высоту конуса.

Дано: AC  = 2 r  = 6,  SA  =  l  = 5, 

Найти: SO  =  h  = ? 

Решение: l  2  =  r  2  +  h  2 ;  r  = 6/2 = 3; 5 2  = 3 2  +  h  2 ; 5 2  − 3 2  =  h  2  или 

h  2  = 5 2  − 3 2  = 25 − 9 = 16;  h  2  = 16; 

h  = 4.

ЗАДАЧА 5. НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА

В

- прямоугольный

АВС

АВС

5

- равнобедренный

АВС

АВС

АВС

45 º

ВС=АС=5

r

С

А

r=2,5

S=2 πr(h+r)

S=2 π·2,5(5 + 2,5)= 5π·7,5 = 37,5π

Задача 6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м 2 , а площадь основания равна 5 м 2 . Найдите высоту цилиндра.

O 1

С

В

H

R=

R

D

А

O

H=

м

Задача 7. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.

Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

О 1

ABCD-квадрат

Н=СD, CD=AD

2CD 2 =AC 2

CD=10

В

С

см

см

R=0,5AD=5

D

О

А

см 2

S=50

КОНУСЫ В ПРИРОДЕ

КОНУСЫ В ЖИВОТНОМ МИРЕ

КОНУСЫ В АРХИТЕКТУРЕ

ЦИЛИНДРЫ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ

ЦИЛИНДРЫ В ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА

Шары - фрукты

ШАРЫ В СПОРТЕ

ШАР – ИДЕАЛЬНАЯ ФОРМА

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ» ИЗ ЖИЗНИ

Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.

Решение.

1) Если дно шляпы опустить на плоскость её полей, то получим круг радиуса

r 1 =10

R = r 1 + 10 = 20 c м.

10

10

2) Площадь этого круга

3) Найдем площадь боковой поверхности цилиндрической части

4) Найдем площадь шляпы

Ответ: 1600  ( см 2 ).

Задача 1. Токарю надо выточить деталь в форме цилиндра высотой 5 см и объёмом около 140 см 3 . Как это сделать?

Показать решение

Задача 1. Токарю надо выточить деталь в форме цилиндра высотой 5 см и объёмом около 140 см 3 . Как это сделать?

Дано : цилиндр,

V=140 см 3 , h =5 см

Найти : R

Решение

Задача 2. Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15см и 10см, а образующая равна 30см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 квадратный метр требуется 150г краски?

R

Задача 3. Сколько кожи пойдет на покрытие футбольного мяча радиуса 10см (на швы добавить 8% от площади поверхности мяча)?

O

R

Задача 4. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4м и диаметром 20см, если на швы необходимо добавить 2,5% от площади её боковой поверхности?

Задача 5. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12см и диаметр верхней части 5см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Ответ: нет

Спасибо за внимание!