Презентация к уроку по геометрии в 8 классе "Средняя линия треугольника"

Применение подобия

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

к доказательству теорем

8 класс

Л.С. Атанасян геометрия 7-9

Учиться можно только

весело…

Чтобы переваривать

знания, надо поглощать

их с аппетитом.

Анатоль Франс

1844 - 1924

Средняя линия

треугольника

Тема:

Дать определение средней линии треугольника.

Доказать теорему о средней линии треугольника.

Доказать теорему о пересечении медиан треугольника.

Цель урока

Первый признак подобия треугольников

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Основное понятие урока

Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

С

В

А

Сколько средних линий можно построить в треугольнике?

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

ABC, МN – средняя линия

Дано:

ABC, МN – средняя линия

1

Доказать: МN II АС,

MN = АС

2

B

Доказательство:

1

BN

BM

=

=

2

BC

BA

MBN ABC

по 2 признаку

N

М

MN

1

1

MN = АС

= ;

2

AC

2

C

А

1= 2 , значит, МN II АС.

9

Диктант. Задание №1

• Вариант 1
• Две стороны треугольника соединили отрезком, непараллельным третьей стороне. Является ли этот отрезок средней линией данного треугольника?

• Вариант 2
• Точки А и В являются серединами двух сторон треугольника. Как называется отрезок АВ?

Диктант. Задание №2

Вариант 1

• Вариант 2

Найти: BD

В

Найти: КМ

K

7 см

7 см

M

D

A

Диктант. Задание №3

B

• Вариант 2

• Вариант 1

• МК=3, KN=4, MN=5
• Найти периметр треугольника АВС.

• АВ=3м, ВС=5м, АС=4м.
• Найти периметр треугольника MNK.

M

N

A

K

C

Диктант. Задание №4

• Вариант 1
• Концы отрезка АВ лежат на сторонах треугольника, а его длина равна половине третьей стороны.
• Обязательно ли: АВ – средняя линия этого треугольника?

• Вариант 2
• Концы отрезка MN лежат на сторонах треугольника. Отрезок MN параллелен третьей стороне и равен его четверти.
• Обязательно ли: MN – средняя линия этого треугольника?

Диктант. Задание №5

• Вариант 1
• Периметр треугольника равен 5,9 см. Найти периметр треугольника, отсекаемого одной из его средних линий.

• Вариант 2
• Периметр треугольника равен 7,3 см. Найти периметр треугольника, отсекаемого одной из его средних линий.

Элементы треугольника

Медиана треугольника –

отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1).

Биссектриса треугольника –

отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Высота треугольника –

отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или ее продолжения и перпендикулярный этой стороне (рис. 3).

12

Свойство медиан треугольника . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2

AВС В 1 А 1 С

по 1 признаку

АВ

АО

ВО

С

=

=

=

1

А 1 В 1

А 1 О

ОВ 1

В 1

А 1

2

4

О

3

1

В

А

Равновеликие треугольники

D

C

а

F

а||b

h

h

h

b

B

A

У Δ АСВ, Δ АDB, Δ AFB основание АВ, а высоты, проведенные к АВ равны (как расстояния между параллельными прямыми).

Значит S ABC =S ABD =S ABF

Следствие 1

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

В

А

С

М

Следствие 3. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Следствие 3.

Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

В

А 1

С 1

О

С

А

В 1

Доказать на уроке

Следствие 3.

Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна площади исходного треугольника.

B

M

N

A

K

C

S СМК = S МКЕ = ½ S МЕС = ¼ . В треугольнике МКЕ (по свойству точки пересечения медиан) ЕО:ОМ = 2:1 =S ЕКО : S МОК = 2:1, т.е. S МОК = ⅓ S МКЕ = ⅓ ·¼ = 1/12. S MOK :S CMK = (1/12) : (1/4) = 1:3. К О В С М " width="640"

Задача

Медианы ВК и ЕМ треугольника ВСЕ пересекаются в точке О. Найти S MOK :S CMK .

Е

Решение. Обозначим S АВС = 1. S МЕС = ½ . В треугольнике СМЕ МК – медиана = S СМК = S МКЕ =

½ S МЕС = ¼ .

В треугольнике МКЕ (по свойству точки пересечения медиан) ЕО:ОМ = 2:1 =S ЕКО : S МОК = 2:1, т.е. S МОК = ⅓ S МКЕ = ⅓ ·¼ = 1/12.

S MOK :S CMK = (1/12) : (1/4) = 1:3.

К

О

В

С

М

Решите задачу устно по готовому чертежу.

В

• АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника. Доказать:

• S AOC1 = S BOC1
• S AOB= 2 S A1OB
• S AOC1 = 1/6 S АВС

• А 1

• С 1

• О

• С

• А

• В 1

Итог урока

• Отрезок , соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника .
• Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
• Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна ¼ площади исходного.
• Три средние линии треугольника разбивают его на 4 равоновеликих треугольника, площадь каждого из них равна ¼ площади исходного.

23

П. 62, вопросы 8, 9 (стр. 160)

Задачи № 616, 571.

Домашнее задание

Спасибо за урок!