Презентация к уроку системы счисления. Подготовка к ЕГЭ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Математические основы информатики.

Системы счисления.

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ (СС)-

СПОСОБ ЗАПИСИ (ИЗОБРАЖЕНИЯ) ЧИСЕЛ

Бывают:

Позиционные и непозиционные

Позиционной называют систему счисления в которой значение числа, состоящее из цифр, зависит от позиции этих цифр в числе.

Непозиционной называют систему счисления, в которой знаку, представляющему собой цифру, всегда соответствует определенное значение вне зависимости от его местоположения в записи числа.

Пример непозиционной системы счисления.

Алфавит Римской сс:

I- 1 L- 50

V- 5 C- 100 M-1000

X- 10 D- 500

На Руси использовалась алфавитная сс, где в качестве «цифр» использовались 27 букв кириллицы, над которыми ставился знак титло.

Алфавит Вавилонской системы счисления

Вопрос:

Какое число в Вавилонской системе счисления изображено ниже:

Ответ:

2*60*60 + 3*60 + 5= 7200 + 120+ 5= 7385

Вопрос:

Почему именно числу 10 отведена привилегированная роль?

Вопрос:

• Какой существует способ для получения алфавитов сс, больших 10, если цифр не хватает?

2. Назовите алфавит 12-ной сс

3. Найдите ошибки :

12 C 1 2 , AB9 12 , 256 5 , 123 B 7 , 3005 4 , 12 AAC09 12 , 19BD13 12

Вопросы:

1. Известен алфавит некой сс:

Каково основание этой системы

счисления?

2. Какое число следует за числом 111 4 ,

3. Какое число предшествует числу 1 A 12

Правила перевода целых чисел из 10-ной сс в другие системы счисления:

• Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой сс до тех пор пока не получится неполное частное , меньшее делителя
• Полученные остатки , являющиеся цифрами числа в новой сс, привести в соответствие с алфавитом новой сс
• Составить число в новой сс , записывая его, начиная с последнего частного

6.  Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10 10 , 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5 .

7. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6.

6. Пояснение.

Запишем первое 10 10 и последнее число 17 10 в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:  20 5 ,32 5   ( 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,30,31,3 2 )

  Всего цифра «2» встречается 6 раз .

7. Пояснение.

Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 6:

  Запишем по порядку числа, в записи которых встречается цифра 3, от 19 10  до  33 10 : 31 6 , 53 6 ( 3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5,40,41,42,4 3 ,44,45,50,51,52,5 3 )

Всего цифра «3» встречается 7 раз .

Ответ: 8.

8. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23

в системе счисления с основанием 3.

1310

13 10 =111 3 23 10 =212 3

111,11 2 ,1 2 0, 1 2 1, 1 22 , 2 00, 2 01, 2 0 2 , 2 10, 2 11, 2 1 2

Ответ :13

=3 X*N+2=79 X*N+2=79 X*N=77 N= 11 ,7, x= 7 , 11 Y*N+1=111 y*N+1=111 y*N=110 N=5, 11 ,10 Ответ: 11-ричная сс " width="640"

Задачи с сайта К.Полякова http://kpolyakov.ru

86. В системе счисления с основанием N запись числа 79 10 оканчивается на 2, а запись числа 111-на 1. Чему равно N ?

Решение: 79 10 = X2 N 111 10 = Y1 N

N=3

X*N+2=79 X*N+2=79 X*N=77 N= 11 ,7, x= 7 , 11

Y*N+1=111 y*N+1=111 y*N=110 N=5, 11 ,10

Ответ: 11-ричная сс

=3 X*N+2= 41 X*N+2= 41 X*N= 39 N= 13 , 3 , x= 3 , 13 Y*N+1=1 3 1 y*N+1=1 3 1 y*N=1 3 0 N =5, 13 ,10 Ответ: 13-ричная сс " width="640"

Задачи с сайта К.Полякова http://kpolyakov.ru

87. В системе счисления с основанием N запись числа 41 10 оканчивается на 2, а запись числа 131-на 1. Чему равно N ?

Решение: 41 10 = X2 N 1 3 1 10 = Y1 N

N=3

X*N+2= 41 X*N+2= 41 X*N= 39 N= 13 , 3 , x= 3 , 13

Y*N+1=1 3 1 y*N+1=1 3 1 y*N=1 3 0 N =5, 13 ,10

Ответ: 13-ричная сс

Задачи с сайта К.Полякова http://kpolyakov.ru

88. В системе счисления с основанием N запись числа 58 10 оканчивается на 2, а запись числа 108-на 3. Чему равно N ?

=4 X*N+2= 58 X*N= 56 N= 7 , 8 x= 8 , 7 Y*N+3=1 08 y*N=1 0 5 N=5, 7 Ответ: 7 -ричная сс " width="640"

Решение:58 10 = X2 N 108 10 =Y1N

N=4

X*N+2= 58 X*N= 56 N= 7 , 8 x= 8 , 7

Y*N+3=1 08 y*N=1 0 5 N=5, 7

Ответ: 7 -ричная сс

• 17=101 N 101 N =N 2 +1=17 N 2 =16 N=4
• X*4=Y*7 =? 10 Число=28

Что нужно знать для решения сл.задач:

• Принципы кодирования чисел в позиционных сс
• Чтобы перевести число, скажем 12345 N в десятичную сс, нужно умножить зеначеие каждой цифры на N в степени, равной ее разряду.

4 3 2 1 0 ← разряды

1 2 3 4 5 N = 1·N 4 + 2 · N 3 + 3 · N 2 + 4 · N 1 + 5 · N 0

5. Последняя цифра записи числа в сс с основанием N -это остаток от деления

Этого числа на N .

6. Две последние цифры-это остаток от деления этого числа на N 2

число 2 N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

• число 2 N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:
• число 2 N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:
• число 2 N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

• число 2 N -1 в двоичной системе записывается как N единиц:
• число 2 N -1 в двоичной системе записывается как N единиц:
• число 2 N -1 в двоичной системе записывается как N единиц:
• число 2 N -1 в двоичной системе записывается как N единиц:
• число 2 N -1 в двоичной системе записывается как N единиц:

• число 2 N – 2 K при K N в двоичной системе записывается как N– K единиц и K нулей:

• поскольку
• поскольку
• поскольку
• поскольку

, получаем

, откуда следует, что

89. Сколько единиц в двоичной записи числа 8 1023 +2 1024 -3

101. Сколько единиц в двоичной записи числа 8 1341 - 4 1342 +2 1343 -1344

112. Сколько единиц в двоичной записи числа (2 4400 - 1)(4 2200 +2)

№ 89

8 1023 +2 1024 -3=2 3069 +2 1024 -3

2 3069 = 1 00000…..0….0000000000

+

2 1024 = 1 …. 0000000000

100000….1…. 0000000000

-

• = 11

1 00000….0 11111111111 0 1

3069 нулей

0

1024

3064

3069

3069

1024 нуля

-

1024 единицы-1+1= 1024

90 . Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2016 +2 2018 -6

№ 90 2018-2-1=2017

97. Сколько единиц в двоичной записи числа 8 2018 - 4 1305 +2 124 -58

№ 97 6053-…2610=6053-2610+1= 3443

124-4= 120 3443+120= 3563

101. Сколько единиц в двоичной записи числа 8 1341 - 4 1342 +2 1343 -1344

№ 101 3*1341=4023 4023…2684=1339+1= 1340

2*1342=2684

1344=101100000 2684-8= 2676

1340+2676=4016

№ 112 ДЗ

Сколько единиц в двоичной записи числа

(2 4400 -1)(4 2200 +2)=(2 4400 -1)(2 4400 + 2)=

2 8800

(2 4400 -1)(4 2200 +2)=(2 4400 -1)(2 4400 + 2)=

2 8800 +2 4401 - 2 4400 -2

8800 0

+1 …0000000000000

4401

1000000

1…000000 1000000

• 100000
• 10…0000000100000

4400 нулей

00000..00000000010

10000.. 00000…1110

4400-1+1=4400

• Значение арифметического выражения: 9 8 + 3 5 – 9 – записали в системе счисления с основанием 3.

С колько цифр «2» содержится в этой записи?

ОТВЕТЫ

9 8 +3 5 -9=3 16 +3 5 -3 2

3 1 10 =10 3

3 10 :3=1(ост0)=10 3

3 2 =100 3

9 10 : 3=3(ост0):3=1(ост0)

3 3 =1000 3

3 4 =10000 3

3 5 =100000 3

+ 1 0000000000000000 3

1 00000 3

- 1 0000000000 1000 00 3

1 00 3

1 0000000000 0222 00 3

Вывод: цифра «2» получается в процессе вычитания 3 5 -3 2 Ответ: 3 «2»

Количество нулей в

3 сс равно степени

3 в 10 сс

2. Значение арифметического выражения:

3 21 - 9 6 +3 4 – записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

3. Значение арифметического выражения:

9 27 - 8 13 +27 2 – записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

2 . 3 21 - 9 6 +3 4 =3 21 -3 12 +3 4

Вывод: цифра «2» получается только в процессе вычитания 3 21 -3 12

( количество «2» получаем вычитанием степеней 21-12 )

Ответ : 9 «2»

3. 9 27 - 81 3 +27 2 =3 54 -3 12 -3 6 =3 54 -(3 12 +3 6 )

+ 1000000000000 3 ( 3 12 )

1000000 3 ( 3 6 )

1000001000000 3

-1000 …00000000000000

1 000001000000

222….2 1 222222000000

Ответ : 54-6 -1 = 47 - «2»

54 нуля

На дом:

Д

4 . Значение арифметического выражения: 9 27 - 81 3 +27 2 -3 –

записали в системе счисления с основанием 3.

Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

5. Значение арифметического выражения: 9 4 -15– записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

4. 9 27 - 81 3 +27 6 -3 8 =3 54 -3 12 +3 18 -3 8 =

(3 54 +3 18 ) - ( 3 12 +3 8 )

(3 54 +3 18 ) = 100000 ... 001000000000000000000

( 3 12 +3 8 ) = 1 000100000000

100000...000 22222 1 2222 00000000

ответ : 54-8 -1 -36 = 9 - «2»

0 1 0

5. 9 4 -15 =9 4 - (27-12) =9 4 -(27-9-3) =9 4 -(3 3 -3 2 -3) = 9 4 -3 3 +3 2 +3 = (3 8 +3 2 +3) - 3 3

ответ : 8-3=5 «2»

9.   Чему равно наименьшее основание позиционных систем счисления  x , y при котором 225x = 405y?

Ответ записать в виде целого числа.

5 225 x =2*x 2 +2*x+5 405 y =4*Y 2 +5 2* X 2 +2* X + 5 =4*Y 2 + 5 X 2 +X=2*Y 2 X(X+1)=2*Y*Y 8*9=72 X=8, Y=6 " width="640"

Так как в записи есть цифра 5, то основания обеих сс 5

225 x =2*x 2 +2*x+5

405 y =4*Y 2 +5

2* X 2 +2* X + 5 =4*Y 2 + 5

X 2 +X=2*Y 2

X(X+1)=2*Y*Y 8*9=72 X=8, Y=6

10.  Запись числа 69 10  в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

2, тк в двоичной сс число содержит 4 цифр N3 ,тк 69 делится без остатка , а число имеет остаток 1 N=4 1011 4 " width="640"

69 10 =XXX1 N

69 10 /N=68+1=XXX*N+1=69

XXX*N=68 N2, тк в двоичной сс число содержит 4 цифр

N3 ,тк 69 делится без остатка , а число имеет остаток 1

N=4 1011 4

Пояснение.

Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с  6

Для каждого  вычисляем значение  и решаем уравнение , причем нас интересуют только  натуральные   числа

  Для  и  нужных решений нет, а для  получаем  так что 

  Ответ: 

Пояснение.

Составим уравнение для перевода числа  в систему счисления с основанием  ().

   где  — разряды числа в системе счисления с основанием , числа в промежутке .

  Так как  — целое, 68 должно делиться нацело на . Найдем все делители 68, большие 2: 4, В системе с основанием 17 число 69 не будет содержать 4 цифры, в системе с основанием 4 число 69 будет выглядеть так: 10114.

  Следовательно, основание системы равно 4.

1 вариант

2 вариант

1. Перевести число 576 10 в 2-ную систему счисления.

1. Перевести число 675 10 в 2-ную систему счисления.

2. Сделать проверку. Перевести полученный двоичный код в десятичную систему счисления.

2. Сделать проверку. Перевести полученный двоичный код в десятичную систему счисления.

3 . Продолжите числовой ряд на 5 чисел:

10 2 ,…..

3 . Продолжите числовой ряд на 5 чисел:

10 3 ,…..

4. Какое число больше

5 8 или 5 6 ?

4. Какое число больше

9 10 или 9 11 ?

5* В какой системе счисления

2*3=11?

5*В какой системе счисления

2*2=10?

1 вариант

2 вариант

1.Чему равна сумма слагаемых:

63 10 +237 8 +8 CE 16 +11010101 2 =? 8

2. Найти сумму двоичных чисел:

100111000101110

+ 1111000101001

1.Чему равна сумма слагаемых:

36 10 +372 8 +8 CE 16 +1 01111 01 2 =? 8

3. Произвести проверку:

Из полученной суммы вычесть второе слагаемое и получить другое слагаемое

2. Найти сумму двоичных чисел:

110110110000110

+ 1111000101001

3. Произвести проверку:

Из полученной суммы вычесть второе слагаемое и получить другое слагаемое

4* Решите уравнение:

145 x + 24 10 = 127 9

Ответ записать в 5 СС

5* определить

x 10 = *7* 16 =5*6 8

4* Решите уравнение:

441 x + 14 10 = 252 7

Ответ записать в 2 СС

5* определить

x 10 = *4* 8 =*2 16

1 вариант

2 вариант

1.Сколько единиц в двоичной записи числа

8 1234 - 4 234 +2 1620 -108

1.Сколько единиц в двоичной записи числа

82 341 - 4 342 +2 620 -81

2.Сколько нулей в двоичной записи числа

4 350 + 8 340 -2 320 -12

2.Сколько нулей в двоичной записи числа

4 590 + 8 350 -2 1020 - 25

3.Решите уравнение:

145 x + 24 10 = 127 9

Ответ записать в 5 СС

3.Решите уравнение:

441 x + 14 10 = 252 7

Ответ записать в 2 СС

4. Сколько двоек содержится в троичной записи : 9 27 - 81 3 +27 6 -3 8

4. Сколько двоек содержится в троичной записи : 9 54 - 9 13 +27 2 -3

5*определить

x= 10****** 2 =*4* 8 =*2 16

5*определить

x= *7* 16 =5*6 8 =***1* 4