Презентация на тему: "Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью"

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.»

Цель урока:

• Повторить основные понятия: перпендикуляр, наклонная, проекция.

• Вспомнить теорему о трех перпендикулярах и такое важное понятие, как угол между прямой и плоскостью.

• Решить несколько задач на перпендикуляр и наклонные.

НАПОМНИМ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Отрезок  АН  – перпендикуляр, проведенный из точки  А  к плоскости α. Точка  Н  – основание перпендикуляра.

Отрезок  АМ  – наклонная,  М  – основание наклонной.

Отрезок  МН  называется проекцией наклонной  АМ  на плоскость α.

НАПОМНИМ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Свойство 1 . Длина перпендикуляра меньше, чем длина наклонной.

То есть,  АН  AM .

Свойство 2 .

AM = MH MH = NH

То есть, если из точки  А  проведены равные наклонные,  АМ = AN , то их проекции равны:  MH  =  HN .  Если проекции равны  MH  =  HN,  то равны и наклонные:  АМ = AN.

ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.  

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ № 1

Прямая  ОМ  перпендикулярна плоскости

треугольника  АВС  и проходит через центр  О  вписанной в него

окружности.

Докажите, что точка  М  равноудалена:

•   от прямых  АВ, ВС, СА.
•   от всех точек вписанной окружности и от всех касательных к ней.
• Найдите это расстояние, если известны радиус  r  окружности и длина  ОМ = h .
• Докажите равенство углов наклона прямых  МТ  (где  Т  – любая точка окружности) к плоскости  АВС .
• Найдите тангенс этих углов.

Задача № 1

Дано : ∆ АВС ,  О  – центр вписанной окружности,  ОМ  ⊥  АВС .

Доказать : ρ ( М, АВ ) =

=ρ ( М, ВС ) = ρ ( М, СА )

Задача № 1.1

Пусть  А 1 ; В 1 ; С 1  – это точки касания окружности к сторонам треугольника.  ОС 1 ; ОА 1 ; ОВ 1  – радиусы этой окружности. Тогда, по свойству,  ОС 1  ⊥  АВ ,  ОА 1  ⊥  ВС ,  ОВ 1  ⊥  АС .

МО  – перпендикуляр к плоскости  АВС .  ОС 1  – проекция наклонной  МС 1  на плоскость  АВС . Так как  ОС 1  ⊥  АВ,  то  МС 1  ⊥  АВ  (по теореме о трех перпендикулярах). Значит,  МС 1  – это расстояние от точи  М  до прямой  АВ, МС 1  = ρ ( М, АВ ). Аналогично получаем, что  МА 1  = ρ ( М, ВС ),  МВ 1  = ρ ( М, СА ).

Треугольники  МОС 1 ; МОА 1 ; МОВ 1   равны по двум катетам (катеты  ОС 1 ; ОА 1 ; ОВ 1  равны как радиусы вписанной окружности ,  катет  ОМ  – общий). Из равенства треугольников следует, что  МС 1  = МА 1  = МВ 1 .  А значит, ρ ( М, АВ ) = ρ ( М, ВС ) = ρ ( М, СА ), что и требовалось доказать.

Задача № 1.2

Дано : ∆ АВС ,  О  – центр вписанной окружности,  ОМ  ⊥  АВС .

  Доказать : 

ρ ( М, Т ) = ρ ( М, Т 1 )=

  = ρ ( М, t ) = ρ ( М, t 1 )

Рассмотрим вспомогательную иллюстрацию и введем некоторые дополнительные  обозначения.

Имеем окружность с центром в точке  О  и радиусом  r ,  ОМ  ⊥  ОТ 1 Т, ОМ = h, OT = r .

Пусть  t 1 ,  t  – две произвольные касательные.  Т 1 ,  Т  – точки касания касательных  t 1 ,  t к окружности. Тогда второй пункт задачи можно сформулировать так.

Задача № 1.2

  Касательные  t 1 ; t  касаются окружности в точках  Т, Т 1  соответственно. Радиус, проведенный в точку касания касательной, перпендикулярен касательной. То есть  ОТ  ⊥  t .

ρ ( М, Т ) =  МТ , ρ ( М, Т 1 ) =  МТ 1

ОТ  – это проекция наклонной  МТ  на плоскость окружности. Прямая  t  лежит в этой плоскости. Так как  ОТ  ⊥  t,  то  МТ  ⊥  t по теореме о трех перпендикулярах. Значит, ρ ( М, t ) =  МТ . Аналогично, ρ ( М, t 1 ) =  МТ 1 .

Рассмотрим прямоугольные треугольники  МОТ  и  МОТ 1 . Катет  ОМ  – общий,  ОТ = ОТ 1  как радиусы. Значит, треугольники  МОТ  и  МОТ 1  равны по двум катетам. Следовательно,  МТ = МТ 1 , а значит, ρ ( М, t ) = ρ ( М, t 1 ), ρ ( М, Т ) = ρ ( М, Т 1 ), что и требовалось доказать.

Задача № 1.3

Дано : ∆ АВС ,  О  – центр вписанной окружности,  ОМ  ⊥  АВС .

Найти : ρ ( М, t )

Рассмотри прямоугольный треугольник  МОТ .

Из теоремы Пифагора: ;

Ответ :  

Задача № 1.4

Дано : ∆ АВС ,  О  – центр вписанной окружности,  ОМ  ⊥  АВС .

Доказать: ∠( МТ, АВС ) =

∠ ( МТ 1 , АВС ) =

Задача № 1.4

ОТ  – проекция наклонной  МТ  на плоскость  ABC .

Значит, ∠( МТ, АВС ) = ∠( МТ, ОТ ) = ∠ МТО .

Аналогично, ∠( МТ 1 , АВС ) = ∠( МТ 1 , ОТ 1 ) = ∠ МТ 1 О .

Мы доказали, что треугольники  МОТ  и  МОТ 1  равны, а значит, и углы  МТО  и  МТ 1 О равны. Обозначим, их величину за φ. Тогда, ∠( МТ, АВС ) = ∠( МТ 1 , АВС ) = φ, что и требовалось доказать.

Задача № 1.5

Дано : ∆ АВС ,  О  – центр вписанной окружности,  ОМ  ⊥  АВС .

Найти : tg φ.

Рассмотри прямоугольный треугольник  МОТ.