Презентация по теме "Понятия среднее в математике и физике"

Понятия «среднее» в математике и физике.

Автор проекта: Шипилова Дарья ученица 11 класса «А»

Руководитель: Кадменская Н.В.

Актуальность темы

Цели и задачи:

• Анализ различных типов задач на нахождение средней скорости движения .
• Составление алгоритма решения для каждого типа задач. Для этого необходимо:

1. Изучить, сравнить, разграничить понятия «среднее арифметическое», «средняя скорость движения».

• Проанализировать и классифицировать задачи,

предложенные на ЕГЭ по математике за последние годы.

Гипотеза

• Определение. Среднее арифметическое нескольких величин — это отношение суммы величин к их количеству.
• А ср .=(сумма всех чисел)/число слагаемых
• Определение. Средняя скорость — есть отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
• V ср.= весь путь/все время.
• Знаменатели выражений несут разную смысловую нагрузку. Проверю на примерах.

Задача №1.

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 61 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения.

В задаче сказано о двух участках пути. 

Среднюю скорость будем искать по формуле:

Пусть на весь путь автомобиль затратил t часов.

Значит за первую половину времени со скоростью 61 км/ч автомобиль прошёл 0,5∙t∙61 километров, а за вторую половину времени 0,5∙t∙87 километров, тогда: 

Разбор задач

• Если участков пути было два, тогда

• Если три, то

соответственно :

Разбор задач

Задача №2. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути. 

Среднюю скорость будем искать по формуле:

Обозначим весь пусть S.

Тогда первую треть пути автомобиль ехал:

Вторую треть пути автомобиль ехал: 

Последнюю треть пути автомобиль ехал: 

Таким образом

Разбор задач

Задача №3. Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два  часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути. 

Среднюю скорость будем искать по формуле:

Исходя из условия мы можем определить протяжённость каждого участка:

Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров.

Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров.

Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров.

Находим скорость:

Разбор задач

Задача 4. Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 80 км/ч,

а затем 150 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Ответ дайте в км/ч. 

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о

трёх участках пути. 

Среднюю скорость будем искать по формуле:

Протяжённость участков дана. Определим время, которое затратил автомобиль на каждый участок: на первый участок автомобиль затратил 120/60 часов, на второй участок 120/80 часов, на третий 150/100 часов.

Находим среднюю скорость:

Резюме

Итак, выделяем в отдельный блок и ни с чем не путаем задачи на нахож -дение средней скорости. Задачи простые, важно понять и запомнить формулу:

Если участков пути было два, тогда 

Если три, то соответственно:

и так далее.

Как вы поняли, смысл таков: в знаменателе складываются отрезки времени, в числители суммируем расстояния пройденные за соответствующие им отрезки времени.

И, самое главное: Если половину всего времени объект двигался со скоростью V1 , а вторую половину времени со скоростью V2 , то средняя скорость V ср. находится как среднее арифметическое

(и только в этом случае!)

Если половину всего пути объект двигался со скоростью V1  а вторую половину пути со скоростью V2 , то находить среднее арифметическое

скоростей нельзя!